Решение: График кусочной функции
Постройте график функции $y=\begin{cases}x^2+1,\ при\ x\geq -1,\\ \dfrac{4}{x},\ при\ x<-1.\end{cases}$ Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно одну общую точку.
Решение по шагам
5 шаговПри $x\geq -1$ строим часть параболы $y=x^2+1$. Её вершина имеет координаты $(0;1)$, а точка при $x=-1$ — координаты $(-1;2)$ и входит в график.
$$y=x^2+1,\quad x\geq -1$$При $x<-1$ строим левую ветвь гиперболы $y=\dfrac{4}{x}$. При $x\to-1- $ значение $y\to-4$, но точка $(-1;-4)$ не входит в график; при $x\to-\infty$ значение $y\to0-$. Поэтому область значений этой ветви — $(-4;0)$.
$$y=\dfrac{4}{x},\quad x<-1$$Для $-4<m<0$ горизонтальная прямая $y=m$ пересекает гиперболу ровно один раз. С параболой пересечений нет, так как её значения не меньше $1$.
$$\dfrac{4}{x}=m\quad\Rightarrow\quad x=\dfrac{4}{m}<-1$$На параболе уравнение пересечения имеет вид $x^2+1=m$. При $m=1$ получаем одну точку $x=0$. При $1<m\leq2$ обе корневые точки удовлетворяют условию $x\geq-1$, поэтому пересечений две. При $m>2$ отрицательный корень меньше $-1$, а положительный корень допустим, поэтому пересечение одно.
$$x=\pm\sqrt{m-1}$$Объединяя случаи, в которых получается ровно одна общая точка, получаем искомое множество значений параметра.
$$m\in(-4;0)\cup\{1\}\cup(2;+\infty)$$График состоит из части параболы $y=x^2+1$ при $x\geq-1$ и ветви гиперболы $y=\dfrac{4}{x}$ при $x<-1$. Ровно одна общая точка получается при $m\in(-4;0)\cup\{1\}\cup(2;+\infty)$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Включают значение $m=-4$, хотя точка с $x=-1$ не относится к гиперболе.
Считают, что при всех $m>1$ горизонтальная прямая пересекает параболу в двух точках, не учитывая ограничение $x\geq-1$.
Забывают, что при $m=1$ парабола имеет одну точку пересечения с прямой.