Решение: График кусочной функции
Постройте график функции $y = \begin{cases} x^2 + 2x + 1, & x \geq -2, \\ x + 6, & x < -2. \end{cases}$ Определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно две общие точки.
Решение по шагам
4 шагаПервую часть функции преобразуем к виду параболы с вершиной в точке $(-1,0)$: $y=x^2+2x+1=(x+1)^2$. Рассматривается только ветвь при $x\geq-2$; точка $(-2,1)$ входит в график.
$$y=(x+1)^2$$Для пересечения параболы с прямой $y=m$ решаем уравнение $(x+1)^2=m$. При $m<0$ решений нет, при $m=0$ есть одно решение $x=-1$. При $0<m\leq1$ оба корня принадлежат области $x\geq-2$, поэтому точек две. При $m>1$ левый корень меньше $-2$, поэтому остаётся одна точка.
Вторая часть является лучом прямой $y=x+6$ при $x<-2$. Уравнение пересечения с $y=m$ имеет решение $x=m-6$. Условие $m-6<-2$ равносильно $m<4$, поэтому при $m<4$ прямая даёт одну общую точку, а при $m\geq4$ — ни одной.
$$x=m-6<-2 \Longleftrightarrow m<4$$Суммируем количество точек от двух частей графика. При $m=0$ парабола даёт одну точку, а луч — одну, итого две. При $1<m<4$ каждая часть даёт по одной точке, итого две. Значения $0<m\leq1$ не подходят: там получается три точки.
$m=0$ или $1<m<4$
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывать ограничения $x\geq-2$ и $x<-2$ для частей функции.
Считать точку $(-2,4)$ принадлежащей линейной части; на самом деле при $x=-2$ действует парабола и значение функции равно $1$.
Забыть, что при $0<m\leq1$ парабола даёт две точки, а линейная часть при $m<4$ добавляет ещё одну.