Решение: График кусочной функции
Постройте график функции $y = \begin{cases} 2x - 2, & x < 3, \\ -3x + 13, & 3 \le x \le 4, \\ 1{,}5x - 7, & x > 4. \end{cases}$ Определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно две общие точки.
Решение по шагам
7 шаговДля первого участка $y=2x-2$ при $x<3$: при $x\to3-0$ значение $y\to4$, но точка с координатами $(3;4)$ для этого участка не входит в график. Область значений первого участка — $(-\infty,4)$.
$$y=2x-2,\quad x<3$$Для второго участка $y=-3x+13$ при $3\le x\le4$: $y(3)=4$, $y(4)=1$. Область значений — $[1,4]$.
$$y=-3x+13,\quad 3\le x\le4$$Для третьего участка $y=1{,}5x-7$ при $x>4$: при $x\to4+0$ значение $y\to-1$, но значение $-1$ не достигается. Область значений — $(-1,+\infty)$.
$$y=1{,}5x-7,\quad x>4$$При $-1<m<1$ горизонтальная прямая пересекает первый и третий участки, то есть имеет ровно две общие точки.
$$-1<m<1$$При $m=1$ прямая пересекает все три участка, поэтому общих точек три. При $1<m<4$ также имеются три общие точки.
При $m=4$ точка первого участка с абсциссой $x=3$ не входит в график, но имеется точка $(3;4)$ второго участка и одна точка третьего участка. Поэтому общих точек ровно две.
$$m=4$$При $m\le-1$ и при $m>4$ прямая имеет не более одной общей точки с графиком.
$m\in(-1,1)\cup\{4\}$
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Включают значение $m=-1$, хотя третий участок начинается при $x>4$ и значение $y=-1$ не достигается.
Считают, что при $m=1$ имеется две точки, не учитывая пересечение со вторым участком.
Исключают значение $m=4$, забывая, что точка $(3;4)$ принадлежит второму участку.
Неправильно учитывают открытые и закрытые концы промежутков.