Решение: График функции с модулем
Постройте график функции $y = \left|x^2 - 6x + 5\right|$. Какое наибольшее число общих точек может иметь график данной функции с прямой, параллельной оси абсцисс?
Решение по шагам
6 шаговПреобразуем выражение под знаком модуля:
$$x^2 - 6x + 5 = (x - 1)(x - 5) = (x - 3)^2 - 4$$Нули функции находятся при $x = 1$ и $x = 5$. Вершина параболы $y = x^2 - 6x + 5$ имеет координаты $(3; -4)$.
На промежутках $x \leq 1$ и $x \geq 5$ выражение под модулем неотрицательно, поэтому график совпадает с исходной параболой. На промежутке $1 \leq x \leq 5$ оно неположительно, поэтому эта часть параболы отражается относительно оси $x$.
График проходит через точки $(1; 0)$ и $(5; 0)$, а отражённая часть имеет вершину $(3; 4)$. Поэтому он состоит из двух внешних ветвей, направленных вверх, и дуги параболы, направленной вниз, между точками $(1; 0)$ и $(5; 0)$.
Рассмотрим горизонтальную прямую $y = c$, где $0 < c < 4$. Она пересекает каждую из двух внешних ветвей по одной точке, а внутреннюю дугу — по двум точкам.
Итак, при таком значении $c$ получается $1 + 2 + 1 = 4$ точки пересечения. Большее число невозможно, поскольку каждая из трёх частей графика даёт не более указанного числа пересечений.
График строится по точкам $(1; 0)$, $(3; 4)$ и $(5; 0)$ с отражением части исходной параболы ниже оси $x$ вверх; наибольшее число общих точек с горизонтальной прямой — 4.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не отражают относительно оси $x$ часть параболы, расположенную ниже оси абсцисс.
Считают только пересечения с осью $x$, получая 2 точки.
Полагают, что горизонтальная прямая обязательно проходит через вершину и поэтому дают 3 вместо 4.