Решение: График функции с модулями
Постройте график функции $y=x|x|+2|x|-3x$. Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно две общие точки.
Решение по шагам
4 шагаРаскроем модули по знаку $x$. При $x<0$ имеем $|x|=-x$, поэтому $y=-x^2-5x$. При $x\geqslant0$ имеем $|x|=x$, поэтому $y=x^2-x$.
$$y=\begin{cases}-x^2-5x, & x<0,\\ x^2-x, & x\geqslant0.\end{cases}$$Левая ветвь является частью параболы, направленной вниз. Её вершина имеет координаты $\left(-\dfrac52,\dfrac{25}{4}\right)$, а при $x\to0-$ значение функции стремится к нулю. Поэтому горизонтальная прямая пересекает левую ветвь: в одной точке при $m<0$, в двух точках при $0<m<\dfrac{25}{4}$, в одной точке при $m=\dfrac{25}{4}$ и не пересекает её при $m>\dfrac{25}{4}$.
$$y=-x^2-5x=-\left(x+\frac52\right)^2+\frac{25}{4}$$Правая ветвь является частью параболы, направленной вверх. Её вершина имеет координаты $\left(\dfrac12,-\dfrac14\right)$. При $m=-\dfrac14$ имеется одно пересечение, при $-\dfrac14<m<0$ — два, при $m=0$ — две точки $x=0$ и $x=1$, а при $m>0$ — одна точка.
$$y=x^2-x=\left(x-\frac12\right)^2-\frac14$$Суммируем количество различных точек пересечения обеих ветвей. При $m=-\dfrac14$ получаем одну точку на каждой ветви; при $m=0$ — точки с абсциссами $0$ и $1$; при $m=\dfrac{25}{4}$ — по одной точке на каждой ветви. В остальных случаях число точек отлично от двух.
$$m\in\left\{-\frac14,\,0,\,\frac{25}{4}\right\}$$Прямая $y=m$ имеет с графиком ровно две общие точки при $m=-\dfrac14$, $m=0$ или $m=\dfrac{25}{4}$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывать разные области определения ветвей при раскрытии модулей.
Считать точку $x=0$ дважды после разбиения функции на части.
Забыть, что при $x<0$ точка с абсциссой $0$ не принадлежит левой ветви.
Указать все значения уровня, при которых есть пересечения, вместо уровней, дающих ровно две точки.