Решение: График функции с модулем
Постройте график функции $y=|x|\cdot(x-1)-3x$. Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно две общие точки.
Решение по шагам
6 шаговРаскроем модуль по определению. При $x<0$ имеем $|x|=-x$, а при $x\geqslant 0$ имеем $|x|=x$.
$$y=\begin{cases}-x^2-2x, & x<0,\\ x^2-4x, & x\geqslant 0.\end{cases}$$Левая часть графика является ветвью параболы, направленной вниз. Её вершина имеет координаты $(-1;1)$, а точка соединения ветвей — $(0;0)$.
$$y=-x^2-2x=-(x+1)^2+1$$Правая часть графика является ветвью параболы, направленной вверх. Её вершина имеет координаты $(2;-4)$, нули находятся в точках $(0;0)$ и $(4;0)$.
$$y=x^2-4x=(x-2)^2-4$$Рассмотрим пересечения с прямой $y=m$. На левой ветви уравнение имеет вид $-x^2-2x=m$, или $(x+1)^2=1-m$. При $m=1$ имеется ровно одна точка пересечения — вершина $(-1;1)$.
При $m=1$ на правой ветви уравнение $x^2-4x=1$ имеет один корень, принадлежащий промежутку $x\geqslant 0$: $x=2+\sqrt5$. Следовательно, всего получаются две общие точки.
Проверка остальных уровней показывает, что при $-4<m<1$ возникают минимум три точки пересечения, при $m<-4$ и $m>1$ — менее двух, а при $m=-4$ также только две точки, но одна из них является вершиной правой ветви и вторая находится на левой ветви. Поэтому это значение тоже подходит.
$$m=-4$$Прямая $y=m$ имеет с графиком ровно две общие точки при $m=-4$ и $m=1$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывать ограничение $x<0$ для левой ветви и $x\geqslant 0$ для правой.
Считать точку $(0;0)$ принадлежащей обеим ветвям как две разные точки.
Рассматривать только один из возможных уровней касания.