Решение: График с модулем
Постройте график функции $y = 4|x+2| - x^2 - 3x - 2$. Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно три общие точки.
Решение по шагам
6 шаговРаскроем модуль в зависимости от знака выражения $x+2$.
$$y=\begin{cases}-4(x+2)-x^2-3x-2=-x^2-7x-10, & x<-2,\\4(x+2)-x^2-3x-2=-x^2+x+6, & x\geqslant -2.\end{cases}$$Левая часть графика — ветвь параболы $y=-x^2-7x-10$. Её вершина имеет абсциссу $x=-\dfrac{7}{2}$ и ординату $y=\dfrac{9}{4}$. При $x=-2$ значение выражения равно $0$, но точка с этой абсциссой в левую часть не входит.
Правая часть графика — ветвь параболы $y=-x^2+x+6$. Её вершина: $x=\dfrac{1}{2}$, $y=\dfrac{25}{4}$. В точке $x=-2$ она принимает значение $0$, поэтому график содержит точку $(-2;0)$.
При $m=0$ прямая $y=0$ пересекает левую ветвь в точке $(-5;0)$, а правую ветвь — в точках $(-2;0)$ и $(3;0)$. Всего получается три общие точки.
При $m=\dfrac{9}{4}$ горизонтальная прямая касается левой параболы в её вершине и пересекает правую ветвь в двух точках, поскольку $0<\dfrac{9}{4}<\dfrac{25}{4}$. Всего также три общие точки.
Для остальных значений $m$ число пересечений не равно трём: при $0<m<\dfrac{9}{4}$ их четыре, при $\dfrac{9}{4}<m<\dfrac{25}{4}$ — два, а на остальных уровнях — не более двух.
$m=0$ или $m=\dfrac{9}{4}$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывать ограничение $x<-2$ для левой ветви.
Считать точку $(-2;0)$ одновременно принадлежащей обеим ветвям.
Забыть, что при $m=\dfrac{9}{4}$ левая парабола касается прямой в вершине, а правая пересекает её в двух точках.