Решение: График функции и параметр
Постройте график функции $y = \dfrac{(0{,}25x^2 - 0{,}5x)\cdot |x|}{x - 2}$. Определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ не имеет с графиком ни одной общей точки.
Решение по шагам
7 шаговОбласть определения исходной функции задаётся условием $x - 2 \ne 0$, то есть $x \ne 2$.
$$D(y)=(-\infty;2)\cup(2;+\infty)$$Разложим числитель на множители: $0{,}25x^2 - 0{,}5x = 0{,}25x(x-2)$.
$$y=\dfrac{0{,}25x(x-2)|x|}{x-2}$$При $x \ne 2$ сократим множитель $x-2$.
$$y=0{,}25x|x|=\dfrac{x|x|}{4}$$При $x<0$ имеем $|x|=-x$, поэтому $y=-\dfrac{x^2}{4}$. При $x\ge 0$ имеем $|x|=x$, поэтому $y=\dfrac{x^2}{4}$.
$$y=\begin{cases}-\dfrac{x^2}{4},&x<0,\\\dfrac{x^2}{4},&x\ge 0,\end{cases}\quad x\ne2$$График — две параболические ветви с общей точкой $(0;0)$: левая ветвь направлена вниз, правая — вверх. В точке с абсциссой $x=2$ должна быть выколотая точка. Её ордината равна $y=\dfrac{2^2}{4}=1$, поэтому выколота точка $(2;1)$.
$$y(2)=1$$Без исключения точки график имел бы все значения от $-\infty$ до $+\infty$. Исключение $x=2$ удаляет единственную точку с ординатой $1$, так как на левой ветви значение $y=1$ не достигается.
$$E(y)=\mathbb{R}\setminus\{1\}$$Прямая $y=m$ не пересекает график тогда и только тогда, когда значение $m$ отсутствует в множестве значений функции.
$$m=1$$Прямая $y=m$ не имеет с графиком ни одной общей точки при $m=1$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Сокращают множитель $x-2$, но забывают исключить значение $x=2$ из области определения.
Изображают точку $(2;1)$ как закрашенную.
Ошибочно считают, что после сокращения функция совпадает с $y=\dfrac{x|x|}{4}$ на всей числовой оси.
Не учитывают, что значение $y=1$ достигается только при $x=2$ на правой ветви.