Задание 22 ОГЭ по математике: решения ФИПИ с ответами по шагам

Область определения функции: $x\ne0$. Обозначим $a=\dfrac{x}{2{,}5}$ и $b=\dfrac{2{,}5}{x}$. Тогда исходное выражение имеет вид $\dfrac{|a-b|+a+b}{2}=\max(a,b)$.

Сравнение дробей на промежутках области определения даёт кусочную запись функции:

Разложим знаменатель на множители и найдём область определения исходной функции:$$x^2+x=x(x+1),\quad x\ne 0,\quad x\ne -1$$

Для допустимых значений $x$ сократим общий множитель $x+1$:$$y=-4-\frac{x+1}{x(x+1)}=-4-\frac{1}{x},\quad x\ne 0,-1$$

Область определения функции: $x\ne0$. Обозначим $a=\dfrac{x}{3}$ и $b=\dfrac{3}{x}$. Тогда исходное выражение равно $\max(a,b)$.$$y=\frac{|a-b|+a+b}{2}=\max(a,b)$$

Найдём, какая из величин больше. При $x>0$ имеем $\dfrac{x}{3}\ge\dfrac{3}{x}$ при $x\ge3$. Поэтому на положительной полуоси функция задаётся так:$$y=\begin{cases}\dfrac{3}{x},&0<x\le3,\\[4pt]\dfrac{x}{3},&x\ge3.\end{cases}$$

Область определения исходной функции задаётся условием $x \ne -3$, так как знаменатель не должен обращаться в ноль.$$x+3 \ne 0 \quad \Rightarrow \quad x \ne -3$$

Разложим числитель на множители и сократим общий множитель $x+3$, помня, что значение $x=-3$ по-прежнему запрещено.$$y=\frac{0{,}75x(x+3)|x|}{x+3}=0{,}75x|x|, \quad x\ne -3$$

Раскроем модуль по определению. При $x<0$ имеем $|x|=-x$, а при $x\geqslant 0$ имеем $|x|=x$.$$y=\begin{cases}-x^2-4x=4-(x+2)^2, & x<0,\\x^2-2x=(x-1)^2-1, & x\geqslant 0.\end{cases}$$

Левая часть графика — ветвь параболы с вершиной $(-2;4)$, заданная при $x<0$. При $m<0$ она не пересекает прямую $y=m$; при $m=0$ имеет одну точку пересечения $(-4;0)$; при $0<m<4$ имеет две точки; при $m=4$ — одну точку; при $m>4$ — ни…

Область определения исходной функции задаётся условием $x\ne1$, так как знаменатель не должен обращаться в ноль.$$D(y)=\mathbb{R}\setminus\{1\}$$

Разложим числитель на множители:$$0{,}75x^2-0{,}75x=0{,}75x(x-1)$$

Первую часть функции преобразуем к виду параболы с вершиной:$$y=-x^2+2x+3=-(x-1)^2+4$$

Вершина параболы имеет координаты $(1;4)$. При $x=-1$ значение первой части равно $0$, поэтому на графике есть точка $(-1;0)$. Парабола строится только при $x\geq -1$.

Раскроем знаки модулей при $x<0$: $|x|=-x$. Поэтому левая часть графика задаётся формулой$$y=x(-x)+(-x)-5x=-x^2-6x,\quad x<0$$

При $x\geqslant 0$ имеем $|x|=x$. Поэтому правая часть графика задаётся формулой$$y=x^2+x-5x=x^2-4x,\quad x\geqslant 0$$

Раскроем модули при $x\geq 0$: $|x|=x$. Поэтому правая часть графика задаётся формулой$$y=x^2+2x-5x=x^2-3x,\quad x\geq 0$$

При $x<0$ имеем $|x|=-x$. Поэтому левая часть графика задаётся формулой$$y=-x^2-2x-5x=-x^2-7x,\quad x<0$$

Область определения исходной функции: $x\ne -1$, так как знаменатель $-1-x$ не должен обращаться в ноль.$$x\ne -1$$

Упростим выражение при допустимых значениях $x$: знаменатель $-1-x=-(x+1)$, поэтому множитель $x+1$ сокращается.$$y=\dfrac{(x^2+4)(x+1)}{-(x+1)}=-(x^2+4)=-x^2-4$$

Найдём область определения исходной функции. Знаменатель не должен обращаться в ноль, поэтому $x\ne-4$.$$D(y)=\mathbb{R}\setminus\{-4\}$$

Разложим числитель на множители и сократим общий множитель $x+4$, помня об ограничении $x\ne-4$.$$y=\frac{0{,}5x(x+4)|x|}{x+4}=0{,}5x|x|,\quad x\ne-4$$

Разложим знаменатель на множители и учтём область определения исходной функции:$$x^2+4x=x(x+4),\quad x\ne 0,\ x\ne -4$$

Сократим дробь при допустимых значениях $x$:$$y=-2-\dfrac{x+4}{x(x+4)}=-2-\dfrac{1}{x}$$

Область определения функции: $x\ne0$. Обозначим $a=\dfrac{x}{1{,}5}$ и $b=\dfrac{1{,}5}{x}$. Тогда $ab=1$.$$y=\frac12\left(|a-b|+a+b\right)$$

При $x>0$ числа $a$ и $b$ положительны, поэтому $y=\max(a,b)$. Равенство $a=b$ выполняется при $x^2=2{,}25$, то есть при $x=1{,}5$. Поэтому на положительной полуоси функция задаётся так:$$y=\begin{cases}\dfrac{1{,}5}{x},&0<x\leq1{,}5,\\[4pt]\dfrac{x}{1{,}5},&x\geq1{,}5.\end{cases}$$

Первую часть функции преобразуем к виду функции, заданной параболой:$$y=x^2+4x+4=(x+2)^2$$

Это парабола с вершиной в точке $(-2;0)$ и осью симметрии $x=-2$. Из-за условия $x\geq -3$ на графике берётся только часть параболы, начиная с точки $(-3;1)$, которая входит в график.

Раскроем модуль на двух промежутках. При $x < -8$ имеем $|x+8|=-(x+8)$, поэтому$$y=x^2+14x+3(x+8)+48=x^2+17x+72=(x+8)(x+9)$$

При $x \geq -8$ имеем $|x+8|=x+8$, поэтому$$y=x^2+14x-3(x+8)+48=x^2+11x+24=(x+3)(x+8)$$

Преобразуем первую формулу: $x^2 - 10x + 25 = (x - 5)^2$. При $x \ge 4$ это часть параболы с вершиной $(5;0)$, проходящая через точку $(4;1)$. Точка $(4;1)$ принадлежит графику.$$y = (x - 5)^2, \quad x \ge 4$$

Вторая часть является лучом прямой $y = x - 2$ при $x < 4$. Он заканчивается в точке с координатами $(4;2)$, которая не входит в график.$$y < 2$$

Первую часть функции преобразуем к виду параболы с вершиной:$$y=x^2-8x+14=(x-4)^2-2$$

Вершина параболы имеет координаты $(4,-2)$. Так как рассматривается только область $x\geq 3$, левая граница этой части проходит через точку $(3,-1)$.

Разложим знаменатель исходной дроби на множители и определим область определения:$$x^2 + 5x = x(x+5),\quad x \ne 0,\ x \ne -5$$

Сократим общий множитель $x+5$, помня, что значение $x=-5$ запрещено:$$y = 5 - \dfrac{x+5}{x(x+5)} = 5 - \dfrac{1}{x},\quad x \ne 0,-5$$

На промежутке $x \geq -2$ задана парабола. Преобразуем её уравнение:$$-x^2-2x-3=-(x+1)^2-2$$

Вершина параболы имеет координаты $(-1;-2)$, ветви направлены вниз. Точка при $x=-2$ равна $(-2;-3)$ и принадлежит графику. На луче $x \geq -2$ парабола принимает все значения $y \leq -2$.

Раскроем модуль по определению. При $x<-6$ имеем $|x+6|=-(x+6)$, поэтому$$y=x^2+11x-4\bigl(-(x+6)\bigr)+30=x^2+15x+54=(x+6)(x+9)$$

При $x\geqslant-6$ имеем $|x+6|=x+6$, поэтому$$y=x^2+11x-4(x+6)+30=x^2+7x+6=(x+1)(x+6)$$