Решение: График функции с модулем
Постройте график функции $y=\dfrac{1}{2}\left(\left|\dfrac{x}{3}-\dfrac{3}{x}\right|+\dfrac{x}{3}+\dfrac{3}{x}\right)$. Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно одну общую точку.
Решение по шагам
6 шаговОбласть определения функции: $x\ne0$. Обозначим $a=\dfrac{x}{3}$ и $b=\dfrac{3}{x}$. Тогда исходное выражение равно $\max(a,b)$.
$$y=\frac{|a-b|+a+b}{2}=\max(a,b)$$Найдём, какая из величин больше. При $x>0$ имеем $\dfrac{x}{3}\ge\dfrac{3}{x}$ при $x\ge3$. Поэтому на положительной полуоси функция задаётся так:
$$y=\begin{cases}\dfrac{3}{x},&0<x\le3,\\[4pt]\dfrac{x}{3},&x\ge3.\end{cases}$$При $x<0$ знак сравнения меняется из-за умножения на отрицательное число. Поэтому на отрицательной полуоси:
$$y=\begin{cases}\dfrac{3}{x},&x\le-3,\\[4pt]\dfrac{x}{3},&-3<x<0.\end{cases}$$Таким образом, график состоит из двух ветвей гиперболы $y=\dfrac{3}{x}$ на $(-\infty,-3]\cup(0,3]$ и двух частей прямой $y=\dfrac{x}{3}$ на $(-3,0)\cup[3,+\infty)$. В точках $(-3,-1)$ и $(3,1)$ ветви соединяются.
Рассмотрим горизонтальную прямую $y=m$. При $-1<m<0$ она пересекает график дважды: один раз с гиперболой и один раз с прямой. При $m<-1$ пересечений нет, а при $m=-1$ обе соответствующие ветви имеют общую точку $(-3,-1)$, то есть пересечение ровно одно.
Аналогично, при $m>1$ прямая пересекает график дважды, при $0<m<1$ пересечений нет, а при $m=1$ обе положительные ветви соединяются в точке $(3,1)$, поэтому пересечение ровно одно.
$m=-1$ или $m=1$
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывать область определения $x\ne0$.
Неверно сравнить дроби $\dfrac{x}{3}$ и $\dfrac{3}{x}$ при отрицательных значениях $x$.
Считать точку соединения двух ветвей двумя точками пересечения.
Забыть проверить значения $m=-1$ и $m=1$ отдельно.