Задание 22 ОГЭ по математике: решения ФИПИ с ответами по шагам

Преобразуем выражение под знаком модуля:$$x^2 - 6x + 5 = (x - 1)(x - 5) = (x - 3)^2 - 4$$

Нули функции находятся при $x = 1$ и $x = 5$. Вершина параболы $y = x^2 - 6x + 5$ имеет координаты $(3; -4)$.

Раскроем знак модуля. При $x<4$ имеем $|x-4|=4-x$, поэтому$$y=2(4-x)-x^2+9x-20=-x^2+7x-12=-(x-3)(x-4)$$

При $x\geqslant4$ имеем $|x-4|=x-4$, поэтому$$y=2(x-4)-x^2+9x-20=-x^2+11x-28=-(x-4)(x-7)$$

Знаменатель не должен обращаться в ноль, поэтому область определения функции: $x\ne -1$.$$D(y)=\mathbb{R}\setminus\{-1\}$$

Раскладываем числитель на множители и сокращаем общий множитель $x+1$, сохраняя ограничение $x\ne -1$.$$y=\frac{x(x+1)|x|}{x+1}=x|x|,\quad x\ne -1$$

Раскроем модуль по определению.$$y=\begin{cases}-x^2+9x-20,&x<5,\\-x^2+13x-40,&x\geqslant5.\end{cases}$$

Для левой ветви выделим полный квадрат.$$y=-(x-\frac92)^2+\frac14,\quad x<5$$

Первую часть функции представим в виде $y=(x+2)^2$. Это парабола с вершиной $(-2;0)$ и осью симметрии $x=-2$, рассматриваемая только при $x\geq -5$. В точке $x=-5$ она имеет значение $y=9$, поэтому точка $(-5;9)$ принадлежит графику.$$y=x^2+4x+4=(x+2)^2$$

Вторая часть — ветвь гиперболы $y=-\dfrac{45}{x}$ при $x<-5$. На этом промежутке значения функции положительны, стремятся к $0$ при $x\to-\infty$ и к $9$ при $x\to-5-$. Значения $0$ и $9$ эта ветвь не принимает.$$0< -\dfrac{45}{x}<9$$

Раскроем модуль по определению. При $x<-7$ имеем $|x+7|=-(x+7)$, поэтому$$y=-3(x+7)-x^2-13x-42=-x^2-16x-63=-(x+8)^2+1$$

При $x\geqslant -7$ имеем $|x+7|=x+7$, поэтому$$y=3(x+7)-x^2-13x-42=-x^2-10x-21=-(x+5)^2+4$$

Раскроем знак модуля по определению.$$y=\begin{cases}5(2-x)-x^2+5x-6=4-x^2,&x<2,\\5(x-2)-x^2+5x-6=9-(x-5)^2,&x\geqslant2.\end{cases}$$

Левая часть графика — ветвь параболы $y=4-x^2$ при $x<2$. Её вершина имеет координаты $(0;4)$, а точка $(2;0)$ не входит в эту ветвь.

Раскроем модуль по определению. При $x\geq -2$ имеем $|x+2|=x+2$, поэтому функция принимает вид:$$y=3(x+2)-x^2-3x-2=4-x^2$$

При $x<-2$ имеем $|x+2|=-(x+2)$, поэтому:$$y=-3(x+2)-x^2-3x-2=-x^2-6x-8=1-(x+3)^2$$

Знаменатель функции равен нулю при $|x|-4{,}5x^2=0$. Так как $x^2=|x|^2$, получаем $|x|(1-4{,}5|x|)=0$. Поэтому $x=0$ или $|x|=\dfrac{2}{9}$ — эти значения исключаются из области определения.$$|x|-4{,}5x^2=|x|(1-4{,}5|x|)$$

При $x>0$ имеем $|x|=x$, поэтому $y=\dfrac{4{,}5x-1}{x-4{,}5x^2}=-\dfrac{1}{x}$, причём точка $x=\dfrac{2}{9}$ исключена.$$y=\dfrac{4{,}5x-1}{x(1-4{,}5x)}=-\dfrac{1}{x},\quad x>0,\ x\ne\dfrac{2}{9}$$

Область определения исходной функции задаётся условием $x\ne 4$.

При $x<0$ имеем $|x|=-x$. Тогда$$y=\frac{(0{,}25x^2-x)(-x)}{x-4}=\frac{-x^2(0{,}25x-1)}{x-4}=-\frac{x^2}{4}$$

Преобразуем квадратный трёхчлен:$$x^2-6x+11=(x-3)^2+2$$

При $x\ge 2$ график является частью параболы $y=(x-3)^2+2$. Её вершина имеет координаты $(3;2)$, а точка при $x=2$ равна $(2;3)$ и входит в график.

Найдём область определения исходной функции. Знаменатель не должен обращаться в ноль:$$x^2-4x=x(x-4)\ne0,\qquad x\ne0,\ x\ne4$$

Разложим знаменатель на множители и сократим общий множитель $x-4$, сохраняя ограничение $x\ne4$:$$y=-1-\frac{x-4}{x(x-4)}=-1-\frac1x,\qquad x\ne0,\ x\ne4$$

Обозначим $a=\dfrac{x}{5{,}5}$ и $b=\dfrac{5{,}5}{x}$. Тогда исходная функция имеет вид $y=\dfrac{|a-b|+a+b}{2}=\max(a,b)$, причём $x\neq 0$.$$y=\max\left(\dfrac{x}{5{,}5},\dfrac{5{,}5}{x}\right)$$

Точки смены ветвей находятся из равенства $\dfrac{x}{5{,}5}=\dfrac{5{,}5}{x}$, откуда $x^2=30{,}25$ и $x=\pm 5{,}5$.

Раскроем модуль по определению. При $x<0$ имеем $|x|=-x$, поэтому функция принимает вид:$$y=-x(x+2)-5x=-x^2-7x$$

При $x\geqslant 0$ имеем $|x|=x$, поэтому:$$y=x(x+2)-5x=x^2-3x$$

Первая часть графика задаётся формулой $y=x-2{,}5$ при $x<2$. Поэтому её множество значений: $y<-0{,}5$. При каждом таком значении прямая $y=m$ пересекает эту часть в одной точке.$$m< -0{,}5$$

Вторая часть задаётся формулой $y=-x+1{,}5$ при $2\le x\le3$. На концах отрезка получаем значения $-0{,}5$ и $-1{,}5$, поэтому множество значений этой части: $-1{,}5\le y\le-0{,}5$.$$-1{,}5\le m\le-0{,}5$$

Построим первую часть графика $y = 3x - 3$ при $x < 2$. При $x = 2$ значение равно $3$, но точка $(2; 3)$ не входит в график. Область значений этой части: $y < 3$.$$y = 3x - 3,\quad x < 2$$

Построим вторую часть графика $y = -3x + 8{,}5$ на отрезке $2 \le x \le 3$. На концах отрезка получаем точки $(2; 2{,}5)$ и $(3; -0{,}5)$. Область значений: $-0{,}5 \le y \le 2{,}5$.$$y(2)=2{,}5,\quad y(3)=-0{,}5$$

Найдём область определения исходной функции: знаменатель не должен обращаться в ноль.$$x+4\ne 0,\quad x\ne -4$$

Разложим числитель на множители и сократим общий множитель $x+4$, сохранив ограничение $x\ne -4$.$$0{,}25x^2+x=\frac{x^2}{4}+x=\frac{x(x+4)}{4},\quad y=\frac{x(x+4)|x|}{4(x+4)}=\frac{x|x|}{4},\quad x\ne -4$$

Преобразуем квадратный трёхчлен:$$-x^2 + 8x - 17 = -(x - 4)^2 - 1$$

Первая часть графика — ветвь параболы с вершиной в точке $(4; -1)$, построенная только при $x \ge 2$. При $x = 2$ получаем точку $(2; -5)$, включённую в график.

Первую часть функции преобразуем: $y = x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2$. Это правая часть параболы с вершиной в точке $(2, 0)$, построенная при $x \ge -1$. В граничной точке получаем $y = (-1 - 2)^2 = 9$, поэтому точка $(-1, 9)$ принадлежит…$$y = (x - 2)^2,\quad x \ge -1$$

Вторая часть $y = -\dfrac{9}{x}$ при $x < -1$ задаёт левую ветвь гиперболы в третьей? При $x < -1$ значение $x$ отрицательно, поэтому $y > 0$. При $x \to -\infty$ значение $y \to 0^+$, а при $x \to -1-$ значение $y \to 9^+$. Точка…$$0 < y < 9 \text{?}$$

Первую часть функции преобразуем к виду параболы:$$y=x^2+2x+1=(x+1)^2$$

Это парабола с вершиной в точке $(-1;0)$, построенная только при $x\ge -4$. На границе области определения получаем точку $(-4;9)$, включённую в график.