Решение: График кусочной функции
Постройте график функции
$y=\begin{cases}x-2{,}5, & x<2,\\-x+1{,}5, & 2\le x\le 3,\\x-5, & x>3.\end{cases}$
Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно две общие точки.
Решение по шагам
4 шагаПервая часть графика задаётся формулой $y=x-2{,}5$ при $x<2$. Поэтому её множество значений: $y<-0{,}5$. При каждом таком значении прямая $y=m$ пересекает эту часть в одной точке.
$$m< -0{,}5$$Вторая часть задаётся формулой $y=-x+1{,}5$ при $2\le x\le3$. На концах отрезка получаем значения $-0{,}5$ и $-1{,}5$, поэтому множество значений этой части: $-1{,}5\le y\le-0{,}5$.
$$-1{,}5\le m\le-0{,}5$$Третья часть задаётся формулой $y=x-5$ при $x>3$. Поэтому её множество значений: $y>-2$. При каждом таком значении прямая $y=m$ пересекает эту часть в одной точке.
$$m>-2$$При $-2<m<-1{,}5$ имеются точки только на первой и третьей частях, то есть ровно две точки пересечения. При $m=-1{,}5$ добавляется точка на второй части, поэтому пересечений становится три. При $-1{,}5<m<-0{,}5$ также три точки. При $m=-0{,}5$ первая часть точки не даёт, а вторая и третья дают по одной точке, всего две. При остальных значениях пересечений меньше двух.
$$-2<m<-1{,}5\quad\text{или}\quad m=-0{,}5$$$m\in(-2;-1{,}5)\cup\{-0{,}5\}$
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Включают значение $m=-2$, хотя третья часть функции начинается только при $x>3$.
Включают значение $m=-1{,}5$, не учитывая, что при нём появляются три точки пересечения.
Включают значение $m=-0{,}5$ в интервал первой части, хотя при $x<2$ значение $y=-0{,}5$ не достигается.