Решение: График функции с модулем
Постройте график функции $y = \dfrac{(x^2+x)\cdot |x|}{x+1}$. Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ не имеет с графиком ни одной общей точки.
Решение по шагам
5 шаговЗнаменатель не должен обращаться в ноль, поэтому область определения функции: $x\ne -1$.
$$D(y)=\mathbb{R}\setminus\{-1\}$$Раскладываем числитель на множители и сокращаем общий множитель $x+1$, сохраняя ограничение $x\ne -1$.
$$y=\frac{x(x+1)|x|}{x+1}=x|x|,\quad x\ne -1$$Раскрываем модуль. При $x<0$ имеем $|x|=-x$, а при $x\ge 0$ — $|x|=x$.
$$y=\begin{cases}-x^2,&x<0,\x^2,&x\ge 0,\end{cases}\quad x\ne -1$$График состоит из ветви параболы $y=-x^2$ слева от оси ординат и ветви параболы $y=x^2$ справа от неё. В точке $(-1;-1)$ должна быть выколотая точка, так как исходная функция при $x=-1$ не определена.
Функция $y=x|x|$ принимает все действительные значения, но значение $-1$ достигается только при $x=-1$, которое исключено из области определения. Поэтому горизонтальная прямая $y=m$ не пересекает график только при $m=-1$.
График: $y=-x^2$ при $x<0$ и $y=x^2$ при $x\ge 0$, с выколотой точкой $(-1;-1)$. Прямая $y=m$ не имеет общих точек с графиком при $m=-1$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывают ограничение $x\ne -1$ после сокращения дроби.
Изображают точку $(-1;-1)$ как принадлежащую графику.
Записывают, что функция не принимает отрицательные значения, забывая ветвь $y=-x^2$ при $x<0$.