Решения заданий ФИПИ ОГЭ по математике: «Степени и выражения» — с ответами

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $a^{26} \cdot a^{-15} : a^9$ при $a = 3$.

1. 1
   Применим свойства степеней с одинаковым основанием:$$a^{26} \cdot a^{-15} : a^9 = a^{26 + (-15) - 9}$$
2. 2
   Упростим показатель степени:$$26 + (-15) - 9 = 2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $\dfrac{(2^4)^{-6}}{2^{-27}}$.

1. 1
   Преобразуем числитель по свойству степени степени.$$(2^4)^{-6} = 2^{4\cdot(-6)} = 2^{-24}$$
2. 2
   При делении степеней с одинаковым основанием вычитаем показатели.$$\dfrac{2^{-24}}{2^{-27}} = 2^{-24-(-27)} = 2^3$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Корень из степени

Найдите значение выражения $\sqrt{5^6}$.

1. 1
   Представим показатель степени $6$ как удвоенный показатель $3$:$$5^6 = (5^3)^2$$
2. 2
   Извлечём квадратный корень из квадрата:$$\sqrt{5^6} = \sqrt{(5^3)^2} = 5^3 = 125$$

Квадратный корень из числа

Найдите значение выражения $\sqrt{64}$.

1. 1
   Квадратный корень из $64$ — это неотрицательное число, квадрат которого равен $64$.$$\sqrt{64}=8$$
2. 2
   Проверяем: $8^2=64$.$$8^2=64$$

Свойства степеней

Найдите значение выражения $a^9 \cdot a^{12} : a^{17}$ при $a = 3$.

1. 1
   Применяем свойства степеней с одинаковым основанием.$$a^9 \cdot a^{12} : a^{17} = a^{9+12-17} = a^4$$
2. 2
   Подставляем значение $a = 3$.$$a^4 = 3^4 = 81$$

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $\dfrac{(a^5)^4}{a^{16}}$ при $a = 2$.

1. 1
   Применим правило возведения степени в степень:$$(a^5)^4 = a^{5 \cdot 4} = a^{20}$$
2. 2
   Разделим степени с одинаковым основанием:$$\dfrac{a^{20}}{a^{16}} = a^{20-16} = a^4$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение выражения с корнями

Найдите значение выражения $\left(\sqrt{125}+\sqrt{5}\right)\cdot\sqrt{5}$.

1. 1
   Разложим число $125$ на множители и упростим корень:$$\sqrt{125}=\sqrt{25\cdot 5}=5\sqrt{5}$$
2. 2
   Подставим полученное значение в выражение:$$\left(5\sqrt{5}+\sqrt{5}\right)\cdot\sqrt{5}=6\sqrt{5}\cdot\sqrt{5}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение степени под корнем

Найдите значение выражения $\sqrt{4^3}$.

1. 1
   Вычислим степень числа $4$:$$4^3 = 64$$
2. 2
   Извлечём квадратный корень:$$\sqrt{4^3} = \sqrt{64} = 8$$

Значение степени и дроби

Найдите значение выражения $\dfrac{2^5}{4}$.

1. 1
   Вычислим значение степени:$$2^5 = 32$$
2. 2
   Разделим полученное число на 4:$$\dfrac{2^5}{4} = \dfrac{32}{4} = 8$$

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $\dfrac{(a^4)^5}{a^{18}}$ при $a = 3$.

1. 1
   Преобразуем степень в числителе:$$(a^4)^5 = a^{4 \cdot 5} = a^{20}$$
2. 2
   Разделим степени с одинаковым основанием:$$\dfrac{a^{20}}{a^{18}} = a^{20-18} = a^2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение выражения с корнями

Найдите значение выражения $\dfrac{\sqrt{75}\cdot\sqrt{10}}{\sqrt{30}}$.

1. 1
   Объединим множители под одним знаком корня:$$\dfrac{\sqrt{75}\cdot\sqrt{10}}{\sqrt{30}}=\sqrt{\dfrac{75\cdot10}{30}}$$
2. 2
   Вычислим значение подкоренного выражения:$$\dfrac{75\cdot10}{30}=25$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение выражения с корнем

Найдите значение выражения $\sqrt{a^2+6ab+9b^2}$ при $a=5$ и $b=-4$.

1. 1
   Подкоренное выражение является квадратом суммы:$$a^2+6ab+9b^2=(a+3b)^2$$
2. 2
   Подставим значения $a$ и $b$ и учтём, что квадратный корень из квадрата равен модулю:$$\sqrt{(a+3b)^2}=|a+3b|=|5+3\cdot(-4)|=|-7|=7$$

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $a^{-10} \cdot (a^4)^3$ при $a = 4$.

1. 1
   Применим свойство степени произведения степеней: $(a^4)^3 = a^{12}$.$$(a^4)^3 = a^{4 \cdot 3} = a^{12}$$
2. 2
   Объединим степени с одинаковым основанием.$$a^{-10} \cdot a^{12} = a^2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение выражения со степенью

Найдите значение выражения $\sqrt{\dfrac{25a^{19}}{a^{11}}}$ при $a = 2$.

1. 1
   Сократим степени с одинаковым основанием:$$\dfrac{25a^{19}}{a^{11}} = 25a^{19-11} = 25a^8$$
2. 2
   Извлечём квадратный корень:$$\sqrt{25a^8} = 5a^4$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение выражения со степенью

Найдите значение выражения $\dfrac{(4\sqrt{2})^2}{64}$.

1. 1
   Возведём произведение в квадрат:$$(4\sqrt{2})^2=4^2\cdot(\sqrt{2})^2$$
2. 2
   Вычислим квадрат числителя:$$4^2\cdot(\sqrt{2})^2=16\cdot2=32$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $\dfrac{a^{21} \cdot (b^4)^4}{(a \cdot b)^{16}}$ при $a = 2$ и $b = \sqrt{2}$.

1. 1
   Раскроем степени произведения и степени степени:$$\dfrac{a^{21} \cdot (b^4)^4}{(a \cdot b)^{16}} = \dfrac{a^{21} \cdot b^{16}}{a^{16} \cdot b^{16}}$$
2. 2
   Сократим одинаковые множители $b^{16}$ и применим правило деления степеней с одинаковым основанием:$$\dfrac{a^{21}}{a^{16}} = a^{21-16} = a^5$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $a^{-8} \cdot (a^5)^2$ при $a = 3$.

1. 1
   Преобразуем степень произведения:$$(a^5)^2 = a^{10}$$
2. 2
   Перемножаем степени с одинаковым основанием:$$a^{-8} \cdot a^{10} = a^{-8+10} = a^2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $\dfrac{(3^4)^{-3}}{3^{-15}}$.

1. 1
   Преобразуем степень в числителе по правилу возведения степени в степень.$$(3^4)^{-3} = 3^{4 \cdot (-3)} = 3^{-12}$$
2. 2
   При делении степеней с одинаковым основанием вычитаем показатели.$$\dfrac{3^{-12}}{3^{-15}} = 3^{-12-(-15)} = 3^3$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Упростить произведение корней

Найдите значение выражения $\sqrt{11 \cdot 18} \cdot \sqrt{22}$.

1. 1
   Объединим произведение квадратных корней:$$\sqrt{11 \cdot 18} \cdot \sqrt{22} = \sqrt{11 \cdot 18 \cdot 22}$$
2. 2
   Вычислим произведение подкоренных выражений:$$11 \cdot 18 \cdot 22 = 4356$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Вычисление степени

Найдите значение выражения $\dfrac{28^6}{4^4 \cdot 7^5}$.

1. 1
   Представим число $28$ как произведение $4\cdot7$ и раскроем степень произведения.$$28^6=(4\cdot7)^6=4^6\cdot7^6$$
2. 2
   Сократим степени в числителе и знаменателе.$$\dfrac{4^6\cdot7^6}{4^4\cdot7^5}=4^{6-4}\cdot7^{6-5}=4^2\cdot7=112$$