Сторона квадрата равна $24\sqrt{2}$. Найдите радиус окружности, описанной около этого квадрата.
- 1
Диаметр описанной около квадрата окружности равен диагонали квадрата.$$d=a\sqrt{2}$$
- 2
Найдём диагональ квадрата со стороной $24\sqrt{2}$:$$d=24\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=48$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Четырёхугольник $ABCD$ описан около окружности, $AB = 10$, $BC = 14$, $CD = 22$. Найдите $AD$.
- 1
У описанного около окружности четырёхугольника суммы длин противоположных сторон равны.$$AB + CD = BC + AD$$
- 2
Выразим длину стороны $AD$ и подставим известные значения.$$AD = AB + CD - BC = 10 + 22 - 14 = 18$$
Радиус окружности, вписанной в равнобедренную трапецию, равен 30. Найдите высоту этой трапеции.
- 1
Вписанная окружность касается обоих оснований трапеции. Расстояние между параллельными основаниями равно диаметру окружности, то есть высоте трапеции.$$h = 2r$$
- 2
Подставим значение радиуса.$$h = 2 \cdot 30 = 60$$
Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, равен $6\sqrt{3}$. Найдите длину стороны этого треугольника.
- 1
Используем формулу радиуса вписанной окружности равностороннего треугольника.$$r = \dfrac{a\sqrt{3}}{6}$$
- 2
Выразим длину стороны треугольника.$$a = \dfrac{6r}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}r$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Синус угла между стороной и диагональю прямоугольника равен $\dfrac{5}{13}$. Диаметр описанной около него окружности равен 34. Найдите площадь прямоугольника.
- 1
Диагональ прямоугольника совпадает с диаметром описанной окружности, поэтому $d=34$.
- 2
Синус угла между стороной и диагональю равен отношению меньшей стороны к диагонали: $\sin\alpha=\dfrac{5}{13}$. Значит, стороны и диагональ пропорциональны числам $5$, $12$, $13$.
Ещё 2 шага — в полном решении
Точка $O$ является серединой стороны $CD$ квадрата $ABCD$. Радиус окружности с центром в точке $O$, проходящей через вершину $A$, равен $1$. Найдите площадь квадрата $ABCD$.
- 1
Пусть сторона квадрата равна $a$. Так как $O$ — середина стороны $CD$, то $OD = \dfrac{a}{2}$, а $AD = a$.
- 2
Треугольник $AOD$ прямоугольный, поскольку стороны квадрата перпендикулярны. Радиус окружности $OA = 1$.$$OA^2 = AD^2 + OD^2$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Точка $O$ является серединой стороны $CD$ квадрата $ABCD$. Радиус окружности с центром в точке $O$, проходящей через вершину $A$, равен $2\sqrt{5}$. Найдите площадь квадрата $ABCD$.
- 1
Обозначим сторону квадрата через $a$. Поскольку $O$ — середина стороны $CD$, имеем $OD = \dfrac{a}{2}$, а $AD = a$.
- 2
Треугольник $AOD$ прямоугольный, поэтому по теореме Пифагора:$$OA^2 = AD^2 + OD^2$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Треугольник $ABC$ вписан в окружность с центром в точке $O$. Точки $O$ и $C$ лежат в одной полуплоскости относительно прямой $AB$. Найдите угол $ACB$, если угол $AOB$ равен $113^\circ$. Ответ дайте…
- 1
Углы $AOB$ и $ACB$ опираются на одну и ту же дугу $AB$. Условие о расположении точек $O$ и $C$ указывает, что рассматривается дуга, соответствующая углу $AOB$.
- 2
Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.$$\angle ACB = \frac{1}{2}\angle AOB$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника, равен $11\sqrt{3}$. Найдите длину стороны этого треугольника.
- 1
Для равностороннего треугольника радиус описанной окружности выражается формулой$$R=\dfrac{a}{\sqrt{3}}$$
- 2
Выразим длину стороны через радиус и подставим значение радиуса:$$a=R\sqrt{3}=11\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}=11\cdot 3=33$$
Сторона квадрата равна 22. Найдите радиус окружности, вписанной в этот квадрат.
- 1
Вписанная в квадрат окружность касается всех его сторон, поэтому её диаметр равен стороне квадрата.$$d = a = 22$$
- 2
Радиус окружности равен половине диаметра.$$r = \dfrac{d}{2} = \dfrac{22}{2} = 11$$
Синус угла между стороной и диагональю прямоугольника равен $\frac{5}{13}$. Диаметр описанной около него окружности равен 26. Найдите площадь прямоугольника.
- 1
Диагональ прямоугольника является диаметром описанной окружности, поэтому$$d = 26$$
- 2
По определению синуса угла между стороной и диагональю одна из сторон равна$$b = d\sin\alpha = 26 \cdot \frac{5}{13} = 10$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Сторона квадрата равна $14\sqrt{2}$. Найдите радиус окружности, описанной около этого квадрата.
- 1
Диагональ квадрата является диаметром описанной окружности.$$d = a\sqrt{2}$$
- 2
Радиус окружности равен половине диагонали квадрата.$$R = \dfrac{d}{2} = \dfrac{a\sqrt{2}}{2}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Периметр треугольника равен 50, одна из сторон равна 20, а радиус вписанной в него окружности равен 4. Найдите площадь этого треугольника.
- 1
Найдём полупериметр треугольника:$$p = \dfrac{P}{2} = \dfrac{50}{2} = 25$$
- 2
Площадь треугольника равна произведению радиуса вписанной окружности на полупериметр:$$S = r p = 4 \cdot 25 = 100$$
Угол $A$ трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, вписанной в окружность, равен $81^\circ$. Найдите угол $C$ этой трапеции. Ответ дайте в градусах.
- 1
Трапеция $ABCD$ вписана в окружность, поэтому является вписанным четырёхугольником. Сумма её противоположных углов равна $180^\circ$.$$\angle A + \angle C = 180^\circ$$
- 2
Подставим значение угла $A$ и найдём угол $C$.$$\angle C = 180^\circ - 81^\circ = 99^\circ$$
Угол $A$ трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, вписанной в окружность, равен $77^\circ$. Найдите угол $C$ этой трапеции. Ответ дайте в градусах.
- 1
Трапеция $ABCD$ вписана в окружность, поэтому является вписанным четырёхугольником. Сумма её противоположных углов равна $180^\circ$.$$\angle A + \angle C = 180^\circ$$
- 2
Подставим значение угла $A$ и найдём угол $C$.$$\angle C = 180^\circ - 77^\circ = 103^\circ$$
Треугольник $ABC$ вписан в окружность с центром в точке $O$. Точки $O$ и $C$ лежат в одной полуплоскости относительно прямой $AB$. Найдите угол $ACB$, если угол $AOB$ равен $67^\circ$. Ответ дайте в…
- 1
Углы $AOB$ и $ACB$ опираются на одну и ту же дугу $AB$. Условие о расположении точек $O$ и $C$ показывает, что используется малая дуга $AB$.
- 2
Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.$$\angle ACB = \dfrac{1}{2}\angle AOB$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Угол $A$ трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, вписанной в окружность, равен $31^\circ$. Найдите угол $B$ этой трапеции. Ответ дайте в градусах.
- 1
Основания трапеции параллельны: $AD \parallel BC$. Углы $A$ и $B$ — односторонние углы при секущей $AB$, поэтому их сумма равна $180^\circ$.$$\angle A + \angle B = 180^\circ$$
- 2
Подставим значение угла $A$ и найдём угол $B$.$$\angle B = 180^\circ - 31^\circ = 149^\circ$$
В окружности с центром в точке $O$ отрезки $AC$ и $BD$ — диаметры. Угол $AOD$ равен $88^\circ$. Найдите угол $ACB$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Так как $BD$ — диаметр, лучи $OB$ и $OD$ противоположны. Поэтому углы $AOB$ и $AOD$ являются смежными.$$\angle AOB + \angle AOD = 180^\circ$$
- 2
Вычислим центральный угол $AOB$.$$\angle AOB = 180^\circ - 88^\circ = 92^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Точка $O$ является серединой стороны $CD$ квадрата $ABCD$. Радиус окружности с центром в точке $O$, проходящей через вершину $A$, равен $1{,}5$. Найдите площадь квадрата $ABCD$.
- 1
Пусть сторона квадрата равна $a$. Так как $O$ — середина стороны $CD$, то $OD = \dfrac{a}{2}$. Высота квадрата $AD$ равна $a$.$$OD = \dfrac{a}{2},\quad AD = a$$
- 2
В прямоугольном треугольнике $AOD$ гипотенуза $OA$ равна радиусу окружности.$$OA^2 = AD^2 + OD^2$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABC$ равен $134^\circ$, угол $CAD$ равен $81^\circ$. Найдите угол $ABD$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Противоположные углы вписанного четырёхугольника в сумме дают $180^\circ$.$$\angle ADC=180^\circ-\angle ABC=180^\circ-134^\circ=46^\circ$$
- 2
Рассмотрим треугольник $ACD$ и найдём его третий угол.$$\angle ACD=180^\circ-\angle CAD-\angle ADC=180^\circ-81^\circ-46^\circ=53^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении