Трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ описана около окружности, $AB = 12$, $BC = 4$, $CD = 8$. Найдите $AD$.
- 1
В описанном около окружности четырёхугольнике суммы длин противоположных сторон равны.$$AB + CD = BC + AD$$
- 2
Подставим известные длины сторон и найдём основание $AD$.$$12 + 8 = 4 + AD$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Радиус окружности, вписанной в прямоугольную трапецию, равен 36. Найдите высоту этой трапеции.
- 1
Основания трапеции параллельны и являются касательными к вписанной окружности. Расстояние между ними равно диаметру окружности, то есть высоте трапеции.$$h = 2r$$
- 2
Подставим значение радиуса.$$h = 2 \cdot 36 = 72$$
На окружности по разные стороны от диаметра $AB$ взяты точки $M$ и $N$. Известно, что $\angle NBA = 36^\circ$. Найдите угол $NMB$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Так как $AB$ — диаметр окружности, угол $ANB$ прямой по теореме Фалеса.$$\angle ANB = 90^\circ$$
- 2
В треугольнике $ANB$ найдём угол $NAB$.$$\angle NAB = 180^\circ - 90^\circ - 36^\circ = 54^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Периметр треугольника равен 54, одна из сторон равна 15, а радиус вписанной в него окружности равен 1. Найдите площадь этого треугольника.
- 1
Площадь треугольника равна произведению радиуса вписанной окружности на полупериметр.$$S = r p$$
- 2
Найдём полупериметр треугольника:$$p = \dfrac{54}{2} = 27$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Отрезки $AC$ и $BD$ — диаметры окружности с центром в точке $O$. Угол $ACB$ равен $79^\circ$. Найдите угол $AOD$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Центральный угол $AOB$ и вписанный угол $ACB$ опираются на одну дугу $AB$, поэтому центральный угол в два раза больше вписанного.$$\angle AOB = 2\angle ACB = 2 \cdot 79^\circ = 158^\circ$$
- 2
Так как $BD$ — диаметр, лучи $OB$ и $OD$ являются противоположными. Следовательно, углы $AOB$ и $AOD$ в сумме дают развёрнутый угол.$$\angle AOD = 180^\circ - \angle AOB = 180^\circ - 158^\circ = 22^\circ$$
В треугольнике $ABC$ известно, что $AC = 8$, $BC = 15$, угол $C$ равен $90^\circ$. Найдите радиус описанной около этого треугольника окружности.
- 1
Так как угол $C$ прямой, сторона $AB$ является гипотенузой.$$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2}$$
- 2
Найдём длину гипотенузы:$$AB = \sqrt{8^2 + 15^2} = \sqrt{289} = 17$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В окружности с центром в точке $O$ отрезки $AC$ и $BD$ — диаметры. Угол $AOD$ равен $86^\circ$. Найдите угол $ACB$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Так как $BD$ — диаметр, лучи $OB$ и $OD$ противоположны. Поэтому углы $AOB$ и $AOD$ являются смежными.$$\angle AOB = 180^\circ - \angle AOD$$
- 2
Вычислим центральный угол, опирающийся на дугу $AB$.$$\angle AOB = 180^\circ - 86^\circ = 94^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Треугольник $ABC$ вписан в окружность с центром в точке $O$. Точки $O$ и $C$ лежат в одной полуплоскости относительно прямой $AB$. Найдите угол $ACB$, если угол $AOB$ равен $27^\circ$.
- 1
Углы $AOB$ и $ACB$ опираются на одну и ту же дугу $AB$. Условия о расположении точек $O$ и $C$ показывают, что используется малая дуга $AB$.
- 2
Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.$$\angle ACB = \frac{1}{2}\angle AOB$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Сторона равностороннего треугольника равна $20\sqrt{3}$. Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.
- 1
Для равностороннего треугольника радиус вписанной окружности вычисляется по формуле:$$r=\dfrac{a\sqrt{3}}{6}$$
- 2
Подставим длину стороны $a=20\sqrt{3}$ и упростим выражение:$$r=\dfrac{20\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}{6}=\dfrac{20\cdot 3}{6}=10$$
Диагональ ромба равна 28, а его сторона равна 25. Найдите радиус окружности, вписанной в ромб.
- 1
Половина известной диагонали равна $14$. По теореме Пифагора найдём половину второй диагонали:$$\frac{d_2}{2} = \sqrt{25^2 - 14^2} = \sqrt{429}$$
- 2
Площадь ромба равна половине произведения диагоналей:$$S = \frac{28 \cdot 2\sqrt{429}}{2} = 28\sqrt{429}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Диагональ ромба равна 48, а сторона ромба равна 25. Найдите радиус окружности, вписанной в ромб.
- 1
Половины диагоналей и сторона ромба образуют прямоугольный треугольник.$$25^2=24^2+\left(\frac{d_2}{2}\right)^2$$
- 2
Находим вторую диагональ.$$\frac{d_2}{2}=\sqrt{25^2-24^2}=7,\quad d_2=14$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Радиус окружности, вписанной в прямоугольную трапецию, равен 26. Найдите высоту этой трапеции.
- 1
Основания трапеции параллельны и являются касательными к вписанной окружности. Поэтому расстояние между основаниями равно диаметру окружности.$$h = 2r$$
- 2
Подставим значение радиуса.$$h = 2 \cdot 26 = 52$$
Отрезки $AC$ и $BD$ — диаметры окружности с центром в точке $O$. Угол $ACB$ равен $62^\circ$. Найдите угол $AOD$.
- 1
Углы $ACB$ и $AOB$ опираются на одну дугу $AB$. Центральный угол в два раза больше вписанного:$$\angle AOB = 2\angle ACB = 2 \cdot 62^\circ = 124^\circ$$
- 2
Так как $BD$ — диаметр, лучи $OB$ и $OD$ являются противоположными. Поэтому углы $AOB$ и $AOD$ в сумме дают $180^\circ$:$$\angle AOD = 180^\circ - 124^\circ = 56^\circ$$
Радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника, равен $5\sqrt{3}$. Найдите длину стороны этого треугольника.
- 1
Для равностороннего треугольника радиус описанной окружности выражается формулой:$$R = \dfrac{a}{\sqrt{3}}$$
- 2
Выразим длину стороны треугольника через радиус:$$a = R\sqrt{3}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Центр окружности, описанной около треугольника $ABC$, лежит на стороне $AB$. Найдите угол $ABC$, если угол $BAC$ равен $74^\circ$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Центр описанной окружности лежит на стороне $AB$, значит $AB$ — диаметр окружности.$$AB \text{ — диаметр}$$
- 2
Угол, опирающийся на диаметр, является прямым.$$\angle ACB = 90^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Сторона равностороннего треугольника равна $4\sqrt{3}$. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.
- 1
Для равностороннего треугольника радиус описанной окружности выражается через сторону формулой:$$R = \dfrac{a}{\sqrt{3}}$$
- 2
Подставим значение стороны треугольника:$$R = \dfrac{4\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 4$$
Синус угла между стороной и диагональю прямоугольника равен $0{,}6$. Диаметр описанной около него окружности равен $10$. Найдите площадь прямоугольника.
- 1
Диаметр описанной окружности прямоугольника равен его диагонали, поэтому диагональ прямоугольника равна $10$.$$d=10$$
- 2
Синус угла между стороной и диагональю равен отношению противолежащей стороны к диагонали. Значит, одна из сторон прямоугольника равна:$$a=d\sin\alpha=10\cdot 0{,}6=6$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABD$ равен $85^\circ$, угол $CAD$ равен $19^\circ$. Найдите угол $ABC$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Углы $ABD$ и $ACD$ — вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу $AD$, поэтому они равны.$$\angle ACD = \angle ABD = 85^\circ$$
- 2
Рассмотрим треугольник $ACD$. Найдём его третий угол.$$\angle ADC = 180^\circ - 19^\circ - 85^\circ = 76^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Периметр треугольника равен 56, одна из сторон равна 19, а радиус вписанной в него окружности равен 5. Найдите площадь этого треугольника.
- 1
Найдём полупериметр треугольника:$$p = \dfrac{56}{2} = 28$$
- 2
Площадь треугольника равна произведению полупериметра на радиус вписанной окружности:$$S = pr = 28 \cdot 5 = 140$$
Угол $A$ четырёхугольника $ABCD$, вписанного в окружность, равен $62°$. Найдите угол $C$ этого четырёхугольника. Ответ дайте в градусах.
- 1
Углы $A$ и $C$ — противоположные углы вписанного четырёхугольника, поэтому их сумма равна $180°$.$$\angle A + \angle C = 180°$$
- 2
Подставим значение угла $A$ и найдём угол $C$.$$\angle C = 180° - 62° = 118°$$