Задание 21 ОГЭ по математике: решения ФИПИ с ответами по шагам

Пусть скорость велосипедиста на пути из А в В равна $x$ км/ч. Тогда скорость на пути из В в А равна $x+9$ км/ч.

Время движения из А в В равно $\dfrac{112}{x}$ ч. Время движения из В в А без остановки равно $\dfrac{112}{x+9}$ ч.

Пусть скорость первого бегуна равна $x$ км/ч. Тогда скорость второго бегуна равна $x+5$ км/ч.

Через один час первому бегуну оставался $1$ км до конца круга, поэтому длина круга равна $x+1$ км.

Пусть $t$ часов — время от начала движения до встречи. Первый велосипедист находился в движении на 2 минуты меньше, то есть $t - \dfrac{2}{60}$ часа.

Расстояние, пройденное первым велосипедистом, равно $16\left(t - \dfrac{2}{60}\right)$ км, а вторым — $30t$ км. Их сумма равна расстоянию между городами:$$16\left(t - \dfrac{2}{60}\right) + 30t = 277$$

Пусть $x$ км/ч — скорость лодки в неподвижной воде. Тогда скорость лодки против течения равна $x - 3$ км/ч, а по течению — $x + 3$ км/ч.

Время движения против течения равно $\dfrac{72}{x-3}$ ч, а время движения по течению — $\dfrac{72}{x+3}$ ч. По условию обратный путь занял на 2 часа меньше:$$\dfrac{72}{x-3} - \dfrac{72}{x+3} = 2$$

Пусть скорость первого бегуна равна $x$ км/ч. Тогда скорость второго бегуна равна $(x + 10)$ км/ч.

За один час первый бегун пробежал $x$ км. Так как до конца первого круга ему оставалось 4 км, длина круга равна $x + 4$ км.

Пусть $x$ км/ч — скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым. Тогда скорость первого велосипедиста равна $x+15$ км/ч.

Время движения второго велосипедиста равно $\dfrac{100}{x}$ ч, а первого — $\dfrac{100}{x+15}$ ч. По условию второй затратил на 6 часов больше:$$\dfrac{100}{x} - \dfrac{100}{x+15} = 6$$

Пусть скорость первого автомобиля равна $x$ км/ч, а весь путь — $S$ км. Тогда скорость второго автомобиля на второй половине пути равна $x+10$ км/ч.$$v_1=x,\quad v_2=x+10$$

Запишем время движения каждого автомобиля. По условию времена равны.$$\frac{S}{x}=\frac{S/2}{72}+\frac{S/2}{x+10}$$

Пусть скорость велосипедиста на пути из А в В равна $x$ км/ч. Тогда время движения из А в В составляет:$$t_1=\dfrac{209}{x}$$

На обратном пути скорость равна $x+8$ км/ч, поэтому время движения без остановки составляет $\dfrac{209}{x+8}$. С учётом остановки общее время равно:$$t_2=\dfrac{209}{x+8}+8$$

Пусть первая труба пропускает $x$ литров воды в минуту. Тогда вторая труба пропускает $x+5$ литров в минуту.

Время заполнения резервуара первой трубой равно $\dfrac{200}{x}$ минут, а второй трубой — $\dfrac{200}{x+5}$ минут.

Пусть собственная скорость баржи равна $x$ км/ч. Тогда скорость баржи по течению равна $x+5$ км/ч, а против течения — $x-5$ км/ч.$$x>5$$

Время движения по течению и против течения в сумме составляет 10 часов.$$\dfrac{88}{x+5}+\dfrac{72}{x-5}=10$$

Пусть первая труба пропускает $x$ литров воды в минуту. Тогда вторая труба пропускает $x+6$ литров в минуту.

Время заполнения резервуара первой трубой равно $\dfrac{140}{x}$ минут, а второй трубой — $\dfrac{140}{x+6}$ минут.

Пусть скорость второго автомобиля равна $x$ км/ч. Тогда скорость первого автомобиля равна $x+30$ км/ч.

Время движения второго автомобиля равно $\dfrac{540}{x}$ ч, а первого — $\dfrac{540}{x+30}$ ч. По условию второй автомобиль находился в пути на 3 ч дольше.$$\dfrac{540}{x} - \dfrac{540}{x+30} = 3$$

Пусть скорость первого автомобиля равна $x$ км/ч, а длина всего пути — $S$ км. Тогда время движения первого автомобиля равно:$$t_1=\dfrac{S}{x}$$

Скорость второго автомобиля на первой половине пути равна $x-8$ км/ч, поэтому время прохождения этой половины пути составляет $\dfrac{S}{2(x-8)}$. Время прохождения второй половины пути со скоростью 90 км/ч равно $\dfrac{S}{180}$.

Пусть скорость первого бегуна равна $v$ км/ч. Тогда скорость второго бегуна равна $v+11$ км/ч.

За один час первый бегун пробежал $v$ км, и ему оставалось ещё 4 км до конца круга. Поэтому длина круга равна $v+4$ км.$$L=v+4$$

Пусть второй рабочий делает $x$ деталей в час. Тогда первый рабочий делает $x+13$ деталей в час.

Время выполнения заказа вторым рабочим равно $\dfrac{208}{x}$ часов, а первым — $\dfrac{208}{x+13}$ часов. По условию первый рабочий тратит на 8 часов меньше:$$\dfrac{208}{x}-\dfrac{208}{x+13}=8$$

Обозначим весь путь автомобиля через $S$. Тогда каждый из двух участков имеет длину $\frac{S}{2}$.

Время движения на первом участке равно $t_1=\frac{S}{2\cdot84}$, а на втором участке — $t_2=\frac{S}{2\cdot108}$.

Так как поезд и пешеход движутся в одном направлении, скорость поезда относительно пешехода равна разности их скоростей.$$v_{\text{отн}} = 63 - 3 = 60\ \text{км/ч}$$

Переведём относительную скорость в метры в секунду.$$60\ \text{км/ч} = 60 \cdot \frac{1000}{3600} = \frac{50}{3}\ \text{м/с}$$

Так как поезд и пешеход движутся в одном направлении, скорость поезда относительно пешехода равна разности их скоростей.$$v_{\text{отн}} = 44 - 4 = 40\ \text{км/ч}$$

Переведём относительную скорость в метры в секунду.$$40\ \text{км/ч} = \frac{40 \cdot 1000}{3600} = \frac{100}{9}\ \text{м/с}$$

Обозначим длину каждой половины пути через $S$. Тогда весь путь равен $2S$.

Время движения на первой половине пути равно $t_1 = \dfrac{S}{69}$, а на второй половине — $t_2 = \dfrac{S}{111}$.

Так как поезд и пешеход движутся навстречу друг другу, их скорость сближения равна сумме скоростей.$$v_{\text{сбл}}=75+3=78\ \text{км/ч}$$

Переведём скорость сближения в метры в секунду.$$78\ \text{км/ч}=\frac{78}{3{,}6}=\frac{65}{3}\ \text{м/с}$$