Задание 21 ОГЭ по математике: решения ФИПИ с ответами по шагам

Пусть $t$ часов — время от начала движения до встречи. Первый велосипедист сделал остановку продолжительностью 56 минут, то есть $\dfrac{56}{60}=\dfrac{14}{15}$ часа. Поэтому первый велосипедист двигался $t-\dfrac{14}{15}$ часа.$$t-\dfrac{14}{15}$$

Расстояние, пройденное первым велосипедистом, равно $13\left(t-\dfrac{14}{15}\right)$ км, а расстояние, пройденное вторым велосипедистом, равно $15t$ км. Их сумма составляет расстояние между городами.$$13\left(t-\dfrac{14}{15}\right)+15t=182$$

Пусть скорость первого автомобиля равна $x$ км/ч. Тогда скорость второго автомобиля равна $x-20$ км/ч.

Время движения первого автомобиля равно $\dfrac{480}{x}$ ч, а второго — $\dfrac{480}{x-20}$ ч. По условию второй автомобиль находился в пути на 2 часа дольше:$$\dfrac{480}{x-20}-\dfrac{480}{x}=2$$

Пусть первый рабочий делает $x$ деталей в час. Тогда второй рабочий делает $x - 9$ деталей в час.

Время выполнения заказа первым рабочим равно $\dfrac{216}{x}$ часов, а вторым — $\dfrac{216}{x-9}$ часов. По условию второй рабочий тратит на 4 часа больше:$$\dfrac{216}{x-9} - \dfrac{216}{x} = 4$$

Переведём время остановки в часы: $36$ минут — это $0{,}6$ часа. Пусть $t$ — время от начала движения до встречи.

Второй велосипедист двигался $t$ часов и проехал $10t$ км. Первый велосипедист двигался на $0{,}6$ часа меньше и проехал $28(t - 0{,}6)$ км.

Пусть $x$ км/ч — скорость течения реки. Тогда скорость теплохода по течению равна $15+x$ км/ч, а против течения — $15-x$ км/ч.$$v_{\text{по течению}}=15+x,\quad v_{\text{против течения}}=15-x$$

Время движения по течению и против течения вместе со стоянкой составляет 32 часа. Поэтому время движения без стоянки равно $32-11=21$ час.$$\dfrac{140}{15+x}+\dfrac{140}{15-x}=21$$

Пусть скорость второго велосипедиста равна $x$ км/ч. Тогда скорость первого велосипедиста равна $x+14$ км/ч.

Время движения второго велосипедиста равно $\dfrac{140}{x}$ часов, а первого — $\dfrac{140}{x+14}$ часов. По условию первый затратил на 5 часов меньше:$$\frac{140}{x}-\frac{140}{x+14}=5$$

Пусть $x$ км/ч — скорость лодки в неподвижной воде. Тогда скорость лодки против течения равна $x-2$ км/ч, а по течению — $x+2$ км/ч.

Время движения против течения равно $\dfrac{297}{x-2}$ часов, а время движения по течению — $\dfrac{297}{x+2}$ часов. По условию обратный путь занял на 3 часа меньше:$$\dfrac{297}{x-2}-\dfrac{297}{x+2}=3$$

Найдём время движения на каждом участке пути.$$t_1 = \dfrac{500}{100} = 5\ \text{ч},\quad t_2 = \dfrac{100}{50} = 2\ \text{ч},\quad t_3 = \dfrac{165}{55} = 3\ \text{ч}$$

Определим общий путь и общее время движения.$$S = 500 + 100 + 165 = 765\ \text{км},\quad t = 5 + 2 + 3 = 10\ \text{ч}$$

Пусть $x$ км/ч — скорость теплохода в неподвижной воде. Тогда скорость теплохода по течению равна $x+5$ км/ч, а против течения — $x-5$ км/ч.

Стоянка длилась 5 часов, поэтому на движение теплоход затратил $23-5=18$ часов.

Пусть скорость велосипедиста на пути из А в В равна $x$ км/ч. Тогда скорость на обратном пути равна $x+9$ км/ч.

Время движения из А в В равно $\dfrac{112}{x}$ часов, а время обратного пути с учётом остановки — $\dfrac{112}{x+9}+4$ часов. По условию эти времена равны.$$\dfrac{112}{x}=\dfrac{112}{x+9}+4$$

Пусть вторая труба пропускает $x$ литров воды в минуту. Тогда первая труба пропускает $x - 15$ литров воды в минуту.

Время заполнения резервуара второй трубой равно $\dfrac{100}{x}$ минут, а первой трубой — $\dfrac{100}{x-15}$ минут. По условию первая труба заполняет резервуар на 6 минут дольше:$$\dfrac{100}{x-15} - \dfrac{100}{x} = 6$$

Обозначим через $x$ скорость лодки в неподвижной воде. Тогда скорость лодки против течения равна $x-5$ км/ч, а по течению — $x+5$ км/ч.

Время движения против течения равно $\dfrac{132}{x-5}$, а время движения по течению — $\dfrac{132}{x+5}$.

Пусть собственная скорость баржи равна $x$ км/ч. Тогда скорость баржи по течению равна $x+5$ км/ч, а против течения — $x-5$ км/ч. Поскольку движение против течения возможно, $x>5$.

Время движения по течению равно $\dfrac{72}{x+5}$ ч, а время движения против течения — $\dfrac{54}{x-5}$ ч. Составим уравнение по условию задачи.$$\dfrac{72}{x+5}+\dfrac{54}{x-5}=9$$

Определим, сколько сухого вещества содержится в свежих фруктах:$$305 \cdot 0{,}16 = 48{,}8\ \text{кг}$$

В высушенных фруктах сухое вещество составляет 80%, поэтому обозначим массу высушенных фруктов через $x$ и составим уравнение:$$0{,}8x = 48{,}8$$

Пусть скорость велосипедиста, пришедшего вторым, равна $x$ км/ч. Тогда скорость первого велосипедиста равна $x+9$ км/ч.

Время движения второго велосипедиста равно $\dfrac{112}{x}$ часов, а время движения первого — $\dfrac{112}{x+9}$ часов. По условию второй затратил на 4 часа больше:$$\dfrac{112}{x} - \dfrac{112}{x+9} = 4$$

Пусть скорость первого автомобиля равна $x$ км/ч. Тогда скорость второго автомобиля на второй половине пути равна $x+7$ км/ч. Обозначим весь путь через $S$ км.

Время движения первого автомобиля равно $\dfrac{S}{x}$. Время движения второго автомобиля складывается из времени прохождения двух половин пути.$$\frac{S}{x}=\frac{S}{2\cdot78}+\frac{S}{2(x+7)}$$

Пусть скорость первого автомобиля равна $x$ км/ч, а весь путь от А до В равен $S$ км. Тогда скорость второго автомобиля на второй половине пути равна $(x+9)$ км/ч.

Так как автомобили прибыли одновременно, приравняем времена движения.$$\dfrac{S}{x}=\dfrac{S}{2\cdot 56}+\dfrac{S}{2(x+9)}$$

Обозначим скорость течения реки через $x$ км/ч. Тогда скорость теплохода по течению равна $34+x$ км/ч, а против течения — $34-x$ км/ч.

Общее время движения теплохода без стоянки равно $36-19=17$ часов.

Так как поезд и пешеход движутся в одном направлении, найдём скорость поезда относительно пешехода.$$v_{\text{отн}}=78-6=72\ \text{км/ч}$$

Переведём относительную скорость в метры в секунду.$$72\cdot\dfrac{5}{18}=20\ \text{м/с}$$

Пусть скорость первого автомобиля равна $x$ км/ч, а расстояние между пунктами А и В равно $S$ км. Тогда скорость второго автомобиля на первой половине пути равна $x-16$ км/ч.$$x>60$$

Время движения первого автомобиля равно времени движения второго автомобиля.$$\frac{S}{x}=\frac{S}{2(x-16)}+\frac{S}{2\cdot96}$$