Расстояние между пристанями А и В равно 24 км. Из А в В по течению реки отправился плот, а через час вслед за ним отправилась моторная лодка, которая, прибыв в пункт В, тотчас повернула обратно и…
- 1
Скорость плота равна скорости течения реки — 5 км/ч. Поэтому плот проплыл 15 км за$$t_{\text{плота}}=\dfrac{15}{5}=3\text{ ч}$$
- 2
Лодка отправилась через час после плота, значит, она находилась в пути$$t_{\text{лодки}}=3-1=2\text{ ч}$$
Ещё 5 шагов — в полном решении
Первая труба пропускает на 13 литров воды в минуту меньше, чем вторая труба. Сколько литров воды в минуту пропускает вторая труба, если резервуар объёмом 208 литров она заполняет на 8 минут быстрее…
- 1
Пусть вторая труба пропускает $x$ литров воды в минуту. Тогда первая труба пропускает $x - 13$ литров в минуту.
- 2
Время заполнения резервуара второй трубой равно $\dfrac{208}{x}$ минут, а первой трубой — $\dfrac{208}{x-13}$ минут. По условию первая труба заполняет резервуар на 8 минут дольше:$$\dfrac{208}{x-13} - \dfrac{208}{x} = 8$$
Ещё 4 шага — в полном решении
Расстояние между пристанями А и В равно 45 км. Из А в В по течению реки отправился плот, а через час вслед за ним отправилась моторная лодка, которая, прибыв в пункт В, тотчас повернула обратно и…
- 1
Плот проплыл 28 км со скоростью течения 4 км/ч, поэтому время его движения до возвращения лодки равно:$$t_{\text{плота}}=\dfrac{28}{4}=7\text{ ч}$$
- 2
Лодка отправилась через час после плота, значит, она находилась в пути:$$t_{\text{лодки}}=7-1=6\text{ ч}$$
Ещё 5 шагов — в полном решении
Расстояние между пристанями А и В равно 108 км. Из А в В по течению реки отправился плот, а через час вслед за ним отправилась моторная лодка, которая, прибыв в пункт В, тотчас повернула обратно и…
- 1
Плот движется со скоростью течения реки, то есть со скоростью 5 км/ч. По условию он проплыл 50 км, поэтому всё время движения до возвращения лодки составило:$$t_{\text{плота}}=\dfrac{50}{5}=10\ \text{ч}$$
- 2
Лодка отправилась на 1 час позже плота, значит, она находилась в пути:$$t_{\text{лодки}}=10-1=9\ \text{ч}$$
Ещё 4 шага — в полном решении
Из А в В одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал весь путь с постоянной скоростью. Второй проехал первую половину пути со скоростью 55 км/ч, а вторую половину пути проехал со скоростью…
- 1
Пусть скорость первого автомобиля равна $x$ км/ч, а весь путь от А до В равен $S$ км. Тогда скорость второго автомобиля на второй половине пути равна $x+6$ км/ч.
- 2
Время движения первого автомобиля составляет $\dfrac{S}{x}$. Время движения второго автомобиля складывается из времени прохождения двух половин пути:$$\frac{S}{2 \cdot 55} + \frac{S}{2(x+6)}$$
Ещё 5 шагов — в полном решении
Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город В, расстояние между которыми равно 60 км. На следующий день он отправился обратно в А, увеличив скорость на 10 км/ч. По пути он сделал…
- 1
Обозначим через $x$ скорость велосипедиста на пути из В в А. Тогда скорость на пути из А в В равна $x-10$ км/ч.
- 2
Время движения из А в В равно $\dfrac{60}{x-10}$ ч, а время обратного пути с учётом остановки — $\dfrac{60}{x}+3$ ч. По условию эти времена равны:$$\dfrac{60}{x-10}=\dfrac{60}{x}+3$$
Ещё 3 шага — в полном решении
Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 132 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость теплохода в неподвижной воде, если скорость течения равна 5 км/ч…
- 1
Пусть $x$ км/ч — скорость теплохода в неподвижной воде. Тогда скорость теплохода по течению равна $x+5$ км/ч, а против течения — $x-5$ км/ч. Необходимо, чтобы $x>5$.$$x>5$$
- 2
Время движения по течению составляет $\dfrac{132}{x+5}$ часов, а время движения против течения — $\dfrac{132}{x-5}$ часов.
Ещё 5 шагов — в полном решении
Два бегуна одновременно стартовали в одном направлении из одного и того же места круговой трассы в беге на несколько кругов. Спустя один час, когда одному из них оставался 1 км до окончания первого…
- 1
Пусть скорость первого бегуна равна $v$ км/ч, а длина круга — $L$ км. Через один час первый бегун прошёл $v$ км, и ему оставался 1 км до конца круга. Поэтому$$L=v+1$$
- 2
Второй бегун пробежал первый круг за 40 минут, так как к моменту сообщения он уже бежал на 20 минут дольше после старта. $40$ минут составляют $\dfrac{2}{3}$ часа, поэтому скорость второго бегуна равна$$v_2=\dfrac{L}{2/3}=\dfrac{3L}{2}$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Первые 350 км автомобиль ехал со скоростью 70 км/ч, следующие 105 км — со скоростью 35 км/ч, а последние 160 км — со скоростью 80 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.
- 1
Найдём время движения на каждом участке пути.$$t_1 = \dfrac{350}{70} = 5\ \text{ч},\quad t_2 = \dfrac{105}{35} = 3\ \text{ч},\quad t_3 = \dfrac{160}{80} = 2\ \text{ч}$$
- 2
Найдём весь пройденный путь и общее время движения.$$S = 350 + 105 + 160 = 615\ \text{км},\quad t = 5 + 3 + 2 = 10\ \text{ч}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 129 км/ч, проезжает мимо пешехода, идущего по платформе параллельно путям со скоростью 6 км/ч навстречу поезду, за 8 секунд. Найдите длину поезда в метрах.
- 1
Так как поезд и пешеход движутся навстречу друг другу, их относительная скорость равна сумме скоростей.$$v_{\text{отн}} = 129 + 6 = 135\ \text{км/ч}$$
- 2
Переведём относительную скорость в метры в секунду.$$135\ \text{км/ч} = \frac{135}{3{,}6} = 37{,}5\ \text{м/с}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Два автомобиля одновременно отправляются в 560-километровый пробег. Первый едет со скоростью на 10 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на 1 ч раньше второго. Найдите скорость первого…
- 1
Пусть скорость второго автомобиля равна $x$ км/ч. Тогда скорость первого автомобиля равна $x+10$ км/ч.$$v_2=x,\quad v_1=x+10$$
- 2
Время движения второго автомобиля на 1 час больше времени движения первого автомобиля.$$\frac{560}{x}-\frac{560}{x+10}=1$$
Ещё 4 шага — в полном решении
Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 36 км/ч, проезжает мимо пешехода, идущего по платформе параллельно путям со скоростью 4 км/ч навстречу поезду, за 81 секунду. Найдите длину поезда в метрах.
- 1
Так как поезд и пешеход движутся навстречу друг другу, их относительная скорость равна сумме скоростей.$$v_{\text{отн}} = 36 + 4 = 40\ \text{км/ч}$$
- 2
Переведём относительную скорость в метры в секунду.$$v_{\text{отн}} = 40 \cdot \frac{5}{18} = \frac{100}{9}\ \text{м/с}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Первый рабочий за час делает на 5 деталей больше, чем второй, и выполняет заказ, состоящий из 200 деталей, на 2 часа быстрее, чем второй рабочий, выполняющий такой же заказ. Сколько деталей в час…
- 1
Пусть второй рабочий делает $x$ деталей в час. Тогда первый рабочий делает $x+5$ деталей в час.
- 2
Время выполнения заказа вторым рабочим равно $\dfrac{200}{x}$ часов, а первым — $\dfrac{200}{x+5}$ часов. По условию первый рабочий тратит на 2 часа меньше:$$\dfrac{200}{x} - \dfrac{200}{x+5} = 2$$
Ещё 3 шага — в полном решении
Из А в В одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал весь путь с постоянной скоростью. Второй проехал первую половину пути со скоростью меньше скорости первого автомобиля на 9 км/ч, а вторую…
- 1
Пусть скорость первого автомобиля равна $v$ км/ч, а длина всего пути — $S$ км. Тогда скорость второго автомобиля на первой половине пути равна $v-9$ км/ч.$$v>40$$
- 2
Время движения первого автомобиля на всём пути:$$t_1=\frac{S}{v}$$
Ещё 6 шагов — в полном решении
Расстояние между пристанями А и В равно 126 км. Из А в В по течению реки отправился плот, а через час вслед за ним отправилась моторная лодка, которая, прибыв в пункт В, тотчас повернула обратно и…
- 1
Плот движется со скоростью течения реки, то есть со скоростью 4 км/ч. Поэтому время его движения до момента возвращения лодки равно:$$t=\dfrac{36}{4}=9\ \text{ч}$$
- 2
Лодка отправилась через 1 час после плота, значит, она находилась в пути:$$t_\text{лодки}=9-1=8\ \text{ч}$$
Ещё 5 шагов — в полном решении
Баржа прошла по течению реки 56 км и, повернув обратно, прошла ещё 54 км, затратив на весь путь 5 часов. Найдите собственную скорость баржи, если скорость течения реки равна 5 км/ч.
- 1
Пусть собственная скорость баржи равна $x$ км/ч. Тогда скорость баржи по течению равна $x+5$ км/ч, а против течения — $x-5$ км/ч.$$x>5$$
- 2
Время движения по течению равно $\dfrac{56}{x+5}$ ч, а время движения против течения — $\dfrac{54}{x-5}$ ч. Составим уравнение по условию задачи.$$\dfrac{56}{x+5}+\dfrac{54}{x-5}=5$$
Ещё 4 шага — в полном решении
Из двух городов одновременно навстречу друг другу отправились два велосипедиста. Проехав некоторую часть пути, первый велосипедист сделал остановку на 20 минут, а затем продолжил движение до встречи…
- 1
Пусть $t$ часов — время движения второго велосипедиста до встречи. Первый велосипедист был в пути на $20$ минут, то есть на $\dfrac{1}{3}$ часа, меньше.$$t_1=t-\dfrac{1}{3}$$
- 2
Расстояния, пройденные велосипедистами, в сумме равны расстоянию между городами.$$20\left(t-\dfrac{1}{3}\right)+30t=210$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город В, расстояние между которыми равно 209 км. На следующий день он отправился обратно в А, увеличив скорость на 8 км/ч. По пути он сделал…
- 1
Пусть скорость велосипедиста на пути из А в В равна $x$ км/ч. Тогда скорость на обратном пути равна $x+8$ км/ч.$$v_{\text{АВ}}=x,\quad v_{\text{ВА}}=x+8$$
- 2
Время движения из А в В равно отношению расстояния к скорости.$$t_{\text{АВ}}=\dfrac{209}{x}$$
Ещё 5 шагов — в полном решении
Расстояние между пристанями А и В равно 72 км. Из А в В по течению реки отправился плот, а через час вслед за ним отправилась моторная лодка, которая, прибыв в пункт В, тотчас повернула обратно и…
- 1
Плот движется со скоростью течения реки, то есть со скоростью 3 км/ч. По условию он проплыл 33 км, поэтому всё время от начала движения плота до возвращения лодки равно$$t=\dfrac{33}{3}=11\text{ ч}$$
- 2
Лодка отправилась через час после плота, значит, она находилась в пути$$11-1=10\text{ ч}$$
Ещё 6 шагов — в полном решении
Из двух городов одновременно навстречу друг другу отправились два велосипедиста. Проехав некоторую часть пути, первый велосипедист сделал остановку на 56 минут, а затем продолжил движение до встречи…
- 1
Обозначим через $t$ время движения второго велосипедиста до встречи. Остановка первого велосипедиста длилась $\dfrac{56}{60} = \dfrac{14}{15}$ часа, поэтому первый велосипедист двигался $t - \dfrac{14}{15}$ часа.$$t - \dfrac{14}{15}$$
- 2
Расстояние между городами равно сумме расстояний, пройденных велосипедистами.$$20\left(t - \dfrac{14}{15}\right) + 30t = 93$$
Ещё 2 шага — в полном решении