Решения заданий ФИПИ ОГЭ по математике: «Степени и выражения» — с ответами

Значение выражения с корнем

Найдите значение выражения $\sqrt{a^2+8ab+16b^2}$ при $a=3\frac{3}{7}$ и $b=\frac{1}{7}$.

1. 1
   Преобразуем подкоренное выражение по формуле квадрата суммы.$$a^2+8ab+16b^2=(a+4b)^2$$
2. 2
   Подставим значения $a=3\frac{3}{7}=\frac{24}{7}$ и $b=\frac{1}{7}$.$$\sqrt{(a+4b)^2}=\left|\frac{24}{7}+4\cdot\frac{1}{7}\right|=\left|\frac{28}{7}\right|=4$$

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $\dfrac{1}{8^{-7}} \cdot \dfrac{1}{8^6}$.

1. 1
   Применим свойство степени с отрицательным показателем к первой дроби.$$\dfrac{1}{8^{-7}} = 8^7$$
2. 2
   Перемножим степени с одинаковым основанием, сложив показатели.$$8^7 \cdot \dfrac{1}{8^6} = 8^7 \cdot 8^{-6} = 8^{7-6} = 8$$

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $a^{-12} \cdot (a^5)^3$ при $a = 4$.

1. 1
   Применим правило возведения степени в степень.$$(a^5)^3 = a^{15}$$
2. 2
   При умножении степеней с одинаковым основанием складываем показатели.$$a^{-12} \cdot a^{15} = a^{-12+15} = a^3$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение выражения с корнями

Найдите значение выражения $\sqrt{11 \cdot 32} \cdot \sqrt{22}$.

1. 1
   Объединим произведение корней под одним знаком корня.$$\sqrt{11 \cdot 32} \cdot \sqrt{22}=\sqrt{11 \cdot 32 \cdot 22}$$
2. 2
   Вычислим подкоренное выражение и извлечём квадратный корень.$$11\cdot32\cdot22=7744=88^2$$

Упростить выражение со степенями

Найдите значение выражения $a^{-15} \cdot (a^5)^4$ при $a = 2$.

1. 1
   Преобразуем степень в скобках по правилу возведения степени в степень.$$(a^5)^4 = a^{5 \cdot 4} = a^{20}$$
2. 2
   Перемножаем степени с одинаковым основанием, складывая показатели.$$a^{-15} \cdot a^{20} = a^{-15+20} = a^5$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение числового выражения

Найдите значение выражения $\dfrac{(2\sqrt{10})^2}{160}$.

1. 1
   Возведём произведение в квадрат:$$(2\sqrt{10})^2=2^2\cdot(\sqrt{10})^2=4\cdot10=40$$
2. 2
   Разделим полученное значение на $160$:$$\dfrac{40}{160}=\dfrac{1}{4}=0{,}25$$

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $3^{-7} \cdot (3^5)^2$.

1. 1
   Применим свойство степени степени:$$(3^5)^2 = 3^{5 \cdot 2} = 3^{10}$$
2. 2
   При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются:$$3^{-7} \cdot 3^{10} = 3^{-7+10} = 3^3$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Разность квадратов с корнем

Найдите значение выражения $\left(\sqrt{31}-3\right)\left(\sqrt{31}+3\right)$.

1. 1
   Применим формулу разности квадратов.$$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$$
2. 2
   Подставим значения и вычислим:$$\left(\sqrt{31}-3\right)\left(\sqrt{31}+3\right)=(\sqrt{31})^2-3^2=31-9=22$$

Значение выражения с корнями

Найдите значение выражения $\dfrac{\sqrt{8}\cdot\sqrt{192}}{\sqrt{24}}$.

1. 1
   Объединим множители под одним знаком квадратного корня.$$\dfrac{\sqrt{8}\cdot\sqrt{192}}{\sqrt{24}}=\sqrt{\dfrac{8\cdot192}{24}}$$
2. 2
   Упростим подкоренное выражение.$$\dfrac{8\cdot192}{24}=64$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение выражения с корнем

Найдите значение выражения $\left(\sqrt{17}-6\right)^2+12\sqrt{17}$.

1. 1
   Раскроем квадрат разности:$$\left(\sqrt{17}-6\right)^2=17-12\sqrt{17}+36$$
2. 2
   Подставим полученное выражение и приведём подобные слагаемые:$$17-12\sqrt{17}+36+12\sqrt{17}=53$$

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $\dfrac{a^{19}\cdot a^{-11}}{a^5}$ при $a=5$.

1. 1
   Используем свойства степеней с одинаковым основанием:$$\dfrac{a^{19}\cdot a^{-11}}{a^5}=a^{19+(-11)-5}=a^3$$
2. 2
   Подставим значение $a=5$:$$a^3=5^3=125$$

Значение выражения со степенью

Найдите значение выражения $\dfrac{360}{(2\sqrt{10})^2}$.

1. 1
   Упростим знаменатель, применив свойство степени произведения:$$(2\sqrt{10})^2=2^2\cdot(\sqrt{10})^2=4\cdot10=40$$
2. 2
   Вычислим значение выражения:$$\dfrac{360}{40}=9$$

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $a^7 \cdot a^{10} : a^{14}$ при $a = 5$.

1. 1
   Применим свойства степеней с одинаковым основанием.$$a^7 \cdot a^{10} : a^{14} = a^{7+10-14} = a^3$$
2. 2
   Подставим значение $a = 5$ и вычислим.$$5^3 = 125$$

Произведение сопряжённых выражений

Найдите значение выражения $(\sqrt{17}-3)(\sqrt{17}+3)$.

1. 1
   Применяем формулу разности квадратов к произведению сопряжённых выражений.$$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$$
2. 2
   Подставляем значения и вычисляем:$$(\sqrt{17}-3)(\sqrt{17}+3)=(\sqrt{17})^2-3^2=17-9=8$$

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $\dfrac{7^8 \cdot 10^6}{70^6}$.

1. 1
   Представим основание степени $70$ как произведение $7 \cdot 10$ и раскроем степень произведения.$$70^6 = (7 \cdot 10)^6 = 7^6 \cdot 10^6$$
2. 2
   Сократим одинаковые множители и применим свойство деления степеней с одинаковым основанием.$$\dfrac{7^8 \cdot 10^6}{7^6 \cdot 10^6} = 7^{8-6} = 7^2 = 49$$

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $\dfrac{1}{2^{-11}} \cdot \dfrac{1}{2^7}$.

1. 1
   Преобразуем каждую дробь в степень с отрицательным показателем.$$\dfrac{1}{2^{-11}}=2^{11},\quad \dfrac{1}{2^7}=2^{-7}$$
2. 2
   При умножении степеней с одинаковым основанием складываем показатели.$$2^{11}\cdot2^{-7}=2^{11-7}=2^4$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $\dfrac{(3 \cdot 6)^4}{3^2 \cdot 6^3}$.

1. 1
   Раскроем степень произведения в числителе.$$(3 \cdot 6)^4 = 3^4 \cdot 6^4$$
2. 2
   Сократим степени с одинаковыми основаниями.$$\dfrac{3^4 \cdot 6^4}{3^2 \cdot 6^3} = 3^{4-2} \cdot 6^{4-3} = 3^2 \cdot 6$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Произведение сопряжённых выражений

Найдите значение выражения $(\sqrt{7}-\sqrt{5})(\sqrt{7}+\sqrt{5})$.

1. 1
   Применим формулу разности квадратов:$$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$$
2. 2
   Подставим значения и вычислим:$$(\sqrt{7}-\sqrt{5})(\sqrt{7}+\sqrt{5})=(\sqrt{7})^2-(\sqrt{5})^2=7-5=2$$

Упростить выражение с корнем

Найдите значение выражения $\left(\sqrt{13}-3\right)^2+6\sqrt{13}$.

1. 1
   Раскроем квадрат разности:$$\left(\sqrt{13}-3\right)^2=(\sqrt{13})^2-2\cdot\sqrt{13}\cdot3+3^2$$
2. 2
   Вычислим квадрат корня и раскроем выражение:$$13-6\sqrt{13}+9+6\sqrt{13}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Упростить выражение с корнем

Найдите значение выражения $\left(\sqrt{11}-7\right)^2+14\sqrt{11}$.

1. 1
   Раскроем квадрат разности:
2. 2
   Подставим полученное выражение и сократим противоположные слагаемые:$$11-14\sqrt{11}+49+14\sqrt{11}=60$$