Решения заданий ФИПИ ОГЭ по математике: «Степени и выражения» — с ответами

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $\sqrt{a^6 \cdot (-a)^2}$ при $a = 3$.

1. 1
   Подставим $a = 3$ и учтём, что квадрат отрицательного числа равен квадрату этого числа.$$\sqrt{a^6 \cdot (-a)^2} = \sqrt{3^6 \cdot 3^2}$$
2. 2
   Сложим показатели степеней с одинаковым основанием.$$\sqrt{3^6 \cdot 3^2} = \sqrt{3^8}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $\sqrt{\dfrac{16a^{12}}{a^{10}}}$ при $a = 5$.

1. 1
   Применим свойство деления степеней с одинаковым основанием:$$\dfrac{16a^{12}}{a^{10}} = 16a^{12-10} = 16a^2$$
2. 2
   Извлечём квадратный корень и подставим $a = 5$:$$\sqrt{16a^2} = 4|a| = 4 \cdot 5 = 20$$

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $\dfrac{(a^5)^5 \cdot a^6}{a^{27}}$ при $a = 2$.

1. 1
   Применим свойства степеней и упростим выражение:$$\dfrac{(a^5)^5 \cdot a^6}{a^{27}} = \dfrac{a^{25} \cdot a^6}{a^{27}} = a^{25+6-27} = a^4$$
2. 2
   Подставим значение $a = 2$:$$a^4 = 2^4 = 16$$

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $\dfrac{5^9 \cdot 8^{11}}{40^9}$.

1. 1
   Представим числа $8$ и $40$ через простые множители:$$8=2^3,\quad 40=5\cdot2^3$$
2. 2
   Применим свойства степеней и сократим одинаковые множители:$$\dfrac{5^9\cdot8^{11}}{40^9}=\dfrac{5^9\cdot(2^3)^{11}}{(5\cdot2^3)^9}=\dfrac{5^9\cdot2^{33}}{5^9\cdot2^{27}}=2^6$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение произведения корней

Найдите значение выражения $\left(\sqrt{7}-\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{7}+\sqrt{3}\right)$.

1. 1
   Применим формулу разности квадратов к произведению суммы и разности:$$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$$
2. 2
   Подставим значения и вычислим:$$\left(\sqrt{7}-\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{7}+\sqrt{3}\right)=(\sqrt{7})^2-(\sqrt{3})^2=7-3=4$$

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $\dfrac{(2 \cdot 10)^5}{2^2 \cdot 10^4}$.

1. 1
   Раскроем степень произведения в числителе:$$(2 \cdot 10)^5 = 2^5 \cdot 10^5$$
2. 2
   Сократим степени с одинаковыми основаниями:$$\dfrac{2^5 \cdot 10^5}{2^2 \cdot 10^4} = 2^{5-2} \cdot 10^{5-4}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $\dfrac{a^{21} \cdot (b^9)^2}{(a \cdot b)^{18}}$ при $a = 5$ и $b = \sqrt{5}$.

1. 1
   Раскроем степени произведения и степени степени:$$\dfrac{a^{21} \cdot (b^9)^2}{(a \cdot b)^{18}} = \dfrac{a^{21} \cdot b^{18}}{a^{18} \cdot b^{18}}$$
2. 2
   Сократим одинаковые множители $b^{18}$ и применим свойство частного степеней:$$\dfrac{a^{21}}{a^{18}} = a^{21-18} = a^3$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Произведение корней

Найдите значение выражения $10\sqrt{7}\cdot 2\sqrt{6}\cdot \sqrt{42}$.

1. 1
   Перемножим числовые множители:$$10\cdot2=20$$
2. 2
   Объединим произведение корней:$$\sqrt{7}\cdot\sqrt{6}\cdot\sqrt{42}=\sqrt{7\cdot6\cdot42}=\sqrt{1764}=42$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $\sqrt{\dfrac{25x^2}{y^4}}$ при $x = 10$ и $y = 5$.

1. 1
   Подставим $x = 10$ и $y = 5$ в исходное выражение.$$\sqrt{\dfrac{25 \cdot 10^2}{5^4}}$$
2. 2
   Вычислим степени и значение дроби.$$\sqrt{\dfrac{25 \cdot 100}{625}} = \sqrt{4}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Произведение сопряжённых выражений

Найдите значение выражения $\left(\sqrt{19}-\sqrt{5}\right)\left(\sqrt{19}+\sqrt{5}\right)$.

1. 1
   Распознаём произведение суммы и разности, поэтому применяем формулу разности квадратов.$$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$$
2. 2
   Подставляем $a=\sqrt{19}$ и $b=\sqrt{5}$:$$\left(\sqrt{19}-\sqrt{5}\right)\left(\sqrt{19}+\sqrt{5}\right)=\left(\sqrt{19}\right)^2-\left(\sqrt{5}\right)^2=19-5=14$$

Упростить выражение со степенями

Найдите значение выражения $\dfrac{(3 \cdot 8)^7}{3^7 \cdot 8^5}$.

1. 1
   Раскроем степень произведения в числителе:$$(3 \cdot 8)^7 = 3^7 \cdot 8^7$$
2. 2
   Сократим множитель $3^7$ и применим правило деления степеней с одинаковым основанием:$$\dfrac{3^7 \cdot 8^7}{3^7 \cdot 8^5} = \dfrac{8^7}{8^5} = 8^{7-5} = 8^2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $\dfrac{20^7}{4^6 \cdot 5^5}$.

1. 1
   Представим число $20$ в виде произведения $4 \cdot 5$ и применим свойство степени произведения.$$20^7 = (4 \cdot 5)^7 = 4^7 \cdot 5^7$$
2. 2
   Сократим степени с одинаковыми основаниями.$$\dfrac{4^7 \cdot 5^7}{4^6 \cdot 5^5} = 4^{7-6} \cdot 5^{7-5} = 4 \cdot 5^2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Упростить выражение со степенями

Найдите значение выражения $\dfrac{4^8 \cdot 11^{10}}{44^8}$.

1. 1
   Разложим число $44$ на множители $4$ и $11$ и применим свойство степени произведения.$$44^8 = (4 \cdot 11)^8 = 4^8 \cdot 11^8$$
2. 2
   Сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе.$$\dfrac{4^8 \cdot 11^{10}}{4^8 \cdot 11^8} = 11^{10-8} = 11^2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение выражения со степенью

Найдите значение выражения $\dfrac{160}{(2\sqrt{5})^2}$.

1. 1
   Раскроем квадрат произведения в знаменателе.$$(2\sqrt{5})^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{5})^2$$
2. 2
   Вычислим значение знаменателя.$$2^2 \cdot (\sqrt{5})^2 = 4 \cdot 5 = 20$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $\dfrac{(a^3)^4 \cdot a^{12}}{a^{21}}$ при $a = 5$.

1. 1
   Применим свойство степени степени:$$(a^3)^4 = a^{12}$$
2. 2
   Упростим произведение и частное степеней с одинаковым основанием:$$\dfrac{a^{12} \cdot a^{12}}{a^{21}} = a^{12+12-21} = a^3$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Вычисление степени двойки

Найдите значение выражения $\dfrac{2^{-3} \cdot 2^{19}}{2^{13}}$.

1. 1
   Применим свойства степеней с одинаковым основанием:$$\dfrac{2^{-3} \cdot 2^{19}}{2^{13}} = 2^{-3+19-13}$$
2. 2
   Вычислим показатель степени:$$-3+19-13=3$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Умножение квадратных корней

Найдите значение выражения $7\sqrt{15} \cdot 2\sqrt{2} \cdot \sqrt{30}$.

1. 1
   Объединим числовые множители и подкоренные выражения:$$7\sqrt{15}\cdot2\sqrt{2}\cdot\sqrt{30}=14\sqrt{15\cdot2\cdot30}$$
2. 2
   Вычислим значение под корнем:$$15\cdot2\cdot30=900$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Произведение сопряжённых выражений

Найдите значение выражения $(\sqrt{17}-\sqrt{5})(\sqrt{17}+\sqrt{5})$.

1. 1
   Применим формулу разности квадратов:$$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$$
2. 2
   Подставим значения под корнями:$$(\sqrt{17}-\sqrt{5})(\sqrt{17}+\sqrt{5})=(\sqrt{17})^2-(\sqrt{5})^2=17-5=12$$

Степени с одинаковым основанием

Найдите значение выражения $\dfrac{a^{11}\cdot a^9}{a^{18}}$ при $a = 7$.

1. 1
   Применяем свойства степеней с одинаковым основанием:$$\dfrac{a^{11}\cdot a^9}{a^{18}}=a^{11+9-18}=a^2$$
2. 2
   Подставляем значение $a=7$:$$a^2=7^2=49$$

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $\dfrac{(3^7)^{-2}}{3^{-16}}$.

1. 1
   Применяем правило степени степени:$$(3^7)^{-2}=3^{7\cdot(-2)}=3^{-14}$$
2. 2
   Делим степени с одинаковым основанием:$$\dfrac{3^{-14}}{3^{-16}}=3^{-14-(-16)}=3^2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении