Решения заданий ФИПИ ОГЭ по математике: «Степени и выражения» — с ответами

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $\dfrac{\left(2^{11}\right)^{-2}}{2^{-26}}$.

1. 1
   Применим свойство степени степени к числителю.$$\left(2^{11}\right)^{-2}=2^{11\cdot(-2)}=2^{-22}$$
2. 2
   При делении степеней с одинаковым основанием вычитаем показатели.$$\dfrac{2^{-22}}{2^{-26}}=2^{-22-(-26)}=2^4$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $\dfrac{1}{5^{-11}} \cdot \dfrac{1}{5^{10}}$.

1. 1
   Заменим дроби степенями с отрицательными показателями:$$\dfrac{1}{5^{-11}} \cdot \dfrac{1}{5^{10}}=5^{11}\cdot 5^{-10}$$
2. 2
   При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются:$$5^{11}\cdot 5^{-10}=5^{11+(-10)}=5^1=5$$

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $\dfrac{(a^3)^6 \cdot a^3}{a^{17}}$ при $a = 3$.

1. 1
   Используем свойство степени степени:$$(a^3)^6 = a^{18}$$
2. 2
   Объединим степени с одинаковым основанием:$$\dfrac{a^{18} \cdot a^3}{a^{17}} = a^{18+3-17} = a^4$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение выражения с корнем

Найдите значение выражения $\sqrt{a^2 + 8ab + 16b^2}$ при $a = 3$ и $b = -4$.

1. 1
   Преобразуем выражение под корнем по формуле квадрата суммы:$$a^2 + 8ab + 16b^2 = (a + 4b)^2$$
2. 2
   Подставим значения переменных:$$\sqrt{(3 + 4 \cdot (-4))^2} = \sqrt{(-13)^2}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение корня из степени

Найдите значение выражения $\sqrt{8^4}$.

1. 1
   Преобразуем четвёртую степень в квадрат второй степени:$$\sqrt{8^4}=\sqrt{(8^2)^2}$$
2. 2
   Корень из квадрата положительного числа равен самому числу:$$\sqrt{(8^2)^2}=8^2=64$$

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $\sqrt{\dfrac{25a^{15}}{a^9}}$ при $a = 2$.

1. 1
   Упростим дробь степеней с одинаковым основанием:$$\dfrac{25a^{15}}{a^9} = 25a^{15-9} = 25a^6$$
2. 2
   Извлечём квадратный корень:$$\sqrt{25a^6} = 5a^3$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение выражения с корнем

Найдите значение выражения $\sqrt{\dfrac{9x^2}{y^4}}$ при $x = 6$ и $y = 3$.

1. 1
   Подставим $x = 6$ и $y = 3$ в выражение.$$\sqrt{\dfrac{9 \cdot 6^2}{3^4}}$$
2. 2
   Вычислим степени и упростим дробь.$$\sqrt{\dfrac{9 \cdot 36}{81}} = \sqrt{4}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение выражения с корнями

Найдите значение выражения $\dfrac{\sqrt{35}\cdot\sqrt{21}}{\sqrt{15}}$.

1. 1
   Объединим корни, используя свойства квадратного корня.$$\dfrac{\sqrt{35}\cdot\sqrt{21}}{\sqrt{15}}=\sqrt{\dfrac{35\cdot21}{15}}$$
2. 2
   Сократим дробь под корнем и извлечём квадратный корень.$$\sqrt{\dfrac{35\cdot21}{15}}=\sqrt{49}=7$$

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $\sqrt{a^8 \cdot (-a)^4}$ при $a = 2$.

1. 1
   Подставим $a = 2$ в выражение:$$\sqrt{a^8 \cdot (-a)^4} = \sqrt{2^8 \cdot (-2)^4}$$
2. 2
   Так как показатель степени четный, $( -2)^4 = 2^4$:$$\sqrt{2^8 \cdot 2^4} = \sqrt{2^{12}}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $\left(a^3\right)^{-5}:a^{-18}$ при $a=2$.

1. 1
   Применим свойство степени степени:$$\left(a^3\right)^{-5}=a^{-15}$$
2. 2
   Разделим степени с одинаковым основанием:$$a^{-15}:a^{-18}=a^{-15-(-18)}=a^3$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $\sqrt{\dfrac{16x^4}{y^{10}}}$ при $x = 8$ и $y = 2$.

1. 1
   Подставим $x = 8$ и $y = 2$ в выражение.$$\sqrt{\dfrac{16x^4}{y^{10}}} = \sqrt{\dfrac{16 \cdot 8^4}{2^{10}}}$$
2. 2
   Вычислим значение выражения под корнем.$$\dfrac{16 \cdot 8^4}{2^{10}} = \dfrac{16 \cdot 4096}{1024} = 64$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $\sqrt{a^2 \cdot (-a)^2}$ при $a = 4$.

1. 1
   Подставим $a = 4$ в выражение.$$\sqrt{a^2 \cdot (-a)^2} = \sqrt{4^2 \cdot (-4)^2}$$
2. 2
   Вычислим квадраты чисел.$$\sqrt{4^2 \cdot (-4)^2} = \sqrt{16 \cdot 16}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение выражения с корнем

Найдите значение выражения $\sqrt{\dfrac{1}{16} \cdot x^{10}y^2}$ при $x = 2$ и $y = 3$.

1. 1
   Подставим $x = 2$ и $y = 3$ в выражение.$$\sqrt{\dfrac{1}{16} \cdot 2^{10} \cdot 3^2}$$
2. 2
   Вычислим степени и значение подкоренного выражения.$$\sqrt{\dfrac{1}{16} \cdot 1024 \cdot 9} = \sqrt{576}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $a^{-9} \cdot (a^2)^6$ при $a = 5$.

1. 1
   Применим свойство степени степени:$$(a^2)^6 = a^{2 \cdot 6} = a^{12}$$
2. 2
   Перемножим степени с одинаковым основанием:$$a^{-9} \cdot a^{12} = a^{-9+12} = a^3$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $\dfrac{(a^8)^2}{a^{13}}$ при $a = 5$.

1. 1
   Упростим числитель по свойству степени степени:$$(a^8)^2 = a^{8\cdot 2} = a^{16}$$
2. 2
   Разделим степени с одинаковым основанием:$$\dfrac{a^{16}}{a^{13}} = a^{16-13} = a^3$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $\dfrac{(7^7)^{-3}}{7^{-23}}$.

1. 1
   Применим свойство степени степени к числителю.$$(7^7)^{-3}=7^{7\cdot(-3)}=7^{-21}$$
2. 2
   Разделим степени с одинаковым основанием, вычитая показатели.$$\dfrac{7^{-21}}{7^{-23}}=7^{-21-(-23)}=7^2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение степенного выражения

Найдите значение выражения $\dfrac{a^{21} \cdot (b^6)^3}{(a \cdot b)^{18}}$ при $a = 3$ и $b = \sqrt{3}$.

1. 1
   Раскроем степени произведения и степень степени:$$\dfrac{a^{21} \cdot (b^6)^3}{(a \cdot b)^{18}} = \dfrac{a^{21}b^{18}}{a^{18}b^{18}}$$
2. 2
   Сократим одинаковые множители $b^{18}$ и степени $a$:$$\dfrac{a^{21}b^{18}}{a^{18}b^{18}} = a^{21-18} = a^3$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $2^{-7} \cdot (2^4)^3$.

1. 1
   Применим свойство степени степени:$$(2^4)^3 = 2^{4 \cdot 3} = 2^{12}$$
2. 2
   При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются:$$2^{-7} \cdot 2^{12} = 2^{-7+12} = 2^5$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение выражения с корнями

Найдите значение выражения $\dfrac{\sqrt{21}\cdot\sqrt{14}}{\sqrt{6}}$.

1. 1
   Объединим произведение и частное квадратных корней:$$\dfrac{\sqrt{21}\cdot\sqrt{14}}{\sqrt{6}}=\sqrt{\dfrac{21\cdot14}{6}}$$
2. 2
   Вычислим значение подкоренного выражения:$$\dfrac{21\cdot14}{6}=49$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение корня из степени

Найдите значение выражения $\sqrt{4^5}$.

1. 1
   Представим число $4$ в виде степени с основанием $2$:$$4^5 = (2^2)^5 = 2^{10}$$
2. 2
   Извлекаем квадратный корень:$$\sqrt{4^5} = \sqrt{2^{10}} = 2^5 = 32$$