Решения заданий ФИПИ ОГЭ по математике: «Степени и выражения» — с ответами

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $7^{-6} \cdot (7^2)^4$.

1. 1
   Преобразуем степень в скобках:$$(7^2)^4 = 7^{2 \cdot 4} = 7^8$$
2. 2
   При умножении степеней с одинаковым основанием складываем показатели:$$7^{-6} \cdot 7^8 = 7^{-6+8} = 7^2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $\dfrac{a^{16} \cdot a^{-3}}{a^{11}}$ при $a = 3$.

1. 1
   Используем свойства степеней с одинаковым основанием.$$\dfrac{a^{16} \cdot a^{-3}}{a^{11}} = a^{16 + (-3) - 11}$$
2. 2
   Упростим показатель степени.$$a^{16 - 3 - 11} = a^2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $\sqrt{a^2 \cdot (-a)^4}$ при $a = 4$.

1. 1
   Подставим $a = 4$ в выражение:$$\sqrt{a^2 \cdot (-a)^4} = \sqrt{4^2 \cdot (-4)^4}$$
2. 2
   Вычислим степени. Поскольку показатель степени чётный, $(-4)^4 = 4^4$:$$\sqrt{4^2 \cdot (-4)^4} = \sqrt{16 \cdot 256}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $\dfrac{(a^7)^3 \cdot a^{10}}{a^{28}}$ при $a = 4$.

1. 1
   Преобразуем степень в скобках и объединим степени с одинаковым основанием.$$\dfrac{(a^7)^3 \cdot a^{10}}{a^{28}} = a^{7 \cdot 3 + 10 - 28} = a^3$$
2. 2
   Подставим значение переменной.$$a^3 = 4^3 = 64$$

Значение произведения корней

Найдите значение выражения $4\sqrt{17}\cdot 5\sqrt{2}\cdot\sqrt{34}$.

1. 1
   Перемножим коэффициенты и объединим подкоренные множители:$$4\sqrt{17}\cdot5\sqrt{2}\cdot\sqrt{34}=20\sqrt{17\cdot2\cdot34}$$
2. 2
   Представим подкоренное выражение как полный квадрат:$$17\cdot2\cdot34=17\cdot2\cdot(17\cdot2)=(34)^2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $(a^4)^{-4} : a^{-19}$ при $a = 5$.

1. 1
   Применим правило степени степени:$$(a^4)^{-4} = a^{-16}$$
2. 2
   Разделим степени с одинаковым основанием:$$a^{-16} : a^{-19} = a^{-16-(-19)} = a^3$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение выражения с корнями

Найдите значение выражения $\dfrac{\sqrt{20}\cdot\sqrt{32}}{\sqrt{10}}$.

1. 1
   Объединим корни, используя свойства квадратного корня:$$\dfrac{\sqrt{20}\cdot\sqrt{32}}{\sqrt{10}}=\sqrt{\dfrac{20\cdot32}{10}}$$
2. 2
   Вычислим подкоренное выражение:$$\dfrac{20\cdot32}{10}=64$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $\dfrac{(2 \cdot 6)^7}{2^5 \cdot 6^6}$.

1. 1
   Раскроем степень произведения в числителе.$$(2 \cdot 6)^7 = 2^7 \cdot 6^7$$
2. 2
   Сократим степени с одинаковыми основаниями, вычитая показатели.$$\dfrac{2^7 \cdot 6^7}{2^5 \cdot 6^6} = 2^{7-5} \cdot 6^{7-6} = 2^2 \cdot 6$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение выражения с корнем

Найдите значение выражения $\sqrt{25a^2+10ab+b^2}$ при $a=\dfrac{4}{9}$ и $b=3\dfrac{7}{9}$.

1. 1
   Подкоренное выражение является квадратом суммы:$$25a^2+10ab+b^2=(5a+b)^2$$
2. 2
   Так как $a$ и $b$ положительны, получаем:$$\sqrt{(5a+b)^2}=5a+b$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $\dfrac{1}{2^{-12}} \cdot \dfrac{1}{2^{10}}$.

1. 1
   Заменим дроби степенями с противоположными показателями:$$\dfrac{1}{2^{-12}} \cdot \dfrac{1}{2^{10}}=2^{12}\cdot2^{-10}$$
2. 2
   При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются:$$2^{12}\cdot2^{-10}=2^{12+(-10)}=2^2=4$$

Значение выражения с корнями

Найдите значение выражения $\dfrac{\sqrt{22}\cdot\sqrt{33}}{\sqrt{6}}$.

1. 1
   Объединим корни, используя свойства арифметического квадратного корня.$$\dfrac{\sqrt{22}\cdot\sqrt{33}}{\sqrt{6}}=\sqrt{\dfrac{22\cdot33}{6}}$$
2. 2
   Упростим подкоренное выражение.$$\dfrac{22\cdot33}{6}=121$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение корня со степенью

Найдите значение выражения $\sqrt{4^6}$.

1. 1
   Представим квадратный корень как возведение в степень $\frac{1}{2}$:$$\sqrt{4^6} = (4^6)^{\frac{1}{2}}$$
2. 2
   Применим правило возведения степени в степень и вычислим результат:$$(4^6)^{\frac{1}{2}} = 4^{6 \cdot \frac{1}{2}} = 4^3 = 64$$

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $\dfrac{6^5}{2^3 \cdot 3^4}$.

1. 1
   Разложим основание степени $6$ на простые множители и применим свойство степени произведения.$$6^5 = (2 \cdot 3)^5 = 2^5 \cdot 3^5$$
2. 2
   Подставим полученное выражение и сократим степени с одинаковыми основаниями.$$\dfrac{6^5}{2^3 \cdot 3^4} = \dfrac{2^5 \cdot 3^5}{2^3 \cdot 3^4} = 2^{5-3} \cdot 3^{5-4}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $\dfrac{(4 \cdot 5)^7}{4^5 \cdot 5^7}$.

1. 1
   Раскроем степень произведения в числителе:$$(4 \cdot 5)^7 = 4^7 \cdot 5^7$$
2. 2
   Сократим степени с одинаковыми основаниями:$$\dfrac{4^7 \cdot 5^7}{4^5 \cdot 5^7} = 4^{7-5} = 4^2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение выражения со степенью

Найдите значение выражения $\dfrac{(4\sqrt{3})^2}{60}$.

1. 1
   Возведём числитель в квадрат:$$(4\sqrt{3})^2=4^2\cdot(\sqrt{3})^2=16\cdot3=48$$
2. 2
   Разделим полученное значение на 60:$$\dfrac{48}{60}=\dfrac{4}{5}=0{,}8$$

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $\dfrac{a^9 \cdot a^{12}}{a^{18}}$ при $a = 4$.

1. 1
   Применим свойства степеней с одинаковым основанием:$$\dfrac{a^9 \cdot a^{12}}{a^{18}} = a^{9+12-18} = a^3$$
2. 2
   Подставим значение $a = 4$:$$a^3 = 4^3 = 64$$

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $\dfrac{(3 \cdot 10)^8}{3^6 \cdot 10^7}$.

1. 1
   Применим свойство степени произведения.$$(3 \cdot 10)^8 = 3^8 \cdot 10^8$$
2. 2
   Сократим степени с одинаковыми основаниями.$$\dfrac{3^8 \cdot 10^8}{3^6 \cdot 10^7} = 3^{8-6} \cdot 10^{8-7} = 3^2 \cdot 10$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Произведение сопряжённых выражений

Найдите значение выражения $(\sqrt{47}-5)(\sqrt{47}+5)$.

1. 1
   Применим формулу разности квадратов для произведения сопряжённых выражений.$$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$$
2. 2
   Подставим значения и вычислим.$$(\sqrt{47}-5)(\sqrt{47}+5)=(\sqrt{47})^2-5^2=47-25=22$$

Умножение квадратных корней

Найдите значение выражения $5\sqrt{11}\cdot 2\sqrt{2}\cdot\sqrt{22}$.

1. 1
   Перемножим числовые множители и объединим корни.$$5\sqrt{11}\cdot 2\sqrt{2}\cdot\sqrt{22}=10\sqrt{11\cdot 2\cdot 22}$$
2. 2
   Вычислим подкоренное выражение и извлечём квадратный корень.$$10\sqrt{484}=10\cdot 22=220$$

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $\sqrt{\dfrac{16x^8}{y^6}}$ при $x = 2$ и $y = 4$.

1. 1
   Подставим $x = 2$ и $y = 4$ в исходное выражение.$$\sqrt{\dfrac{16x^8}{y^6}} = \sqrt{\dfrac{16 \cdot 2^8}{4^6}}$$
2. 2
   Вычислим степени и значение дроби под корнем.$$\sqrt{\dfrac{16 \cdot 256}{4096}} = \sqrt{\dfrac{4096}{4096}} = \sqrt{1}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении