Решения заданий ФИПИ ОГЭ по математике: «Степени и выражения» — с ответами

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $\dfrac{(a^7)^2}{a^{12}}$ при $a = 5$.

1. 1
   Преобразуем степень в числителе и разделим степени с одинаковым основанием.$$\dfrac{(a^7)^2}{a^{12}} = \dfrac{a^{14}}{a^{12}} = a^{14-12} = a^2$$
2. 2
   Подставим значение переменной.$$a^2 = 5^2 = 25$$

Значение выражения с корнями

Найдите значение выражения $(\sqrt{11}-3)(\sqrt{11}+3)$.

1. 1
   Применим формулу разности квадратов.$$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$$
2. 2
   Подставим $a=\sqrt{11}$ и $b=3$.$$(\sqrt{11}-3)(\sqrt{11}+3)=(\sqrt{11})^2-3^2=11-9=2$$

Свойства степеней числа

Найдите значение выражения $11^{-5} \cdot (11^3)^2$.

1. 1
   Применим свойство степени степени:$$(11^3)^2 = 11^{3 \cdot 2} = 11^6$$
2. 2
   При умножении степеней с одинаковым основанием складываем показатели:$$11^{-5} \cdot 11^6 = 11^{-5+6} = 11^1 = 11$$

Значение выражения с корнем

Найдите значение выражения $\sqrt{a^2+10ab+25b^2}$ при $a=14\dfrac{6}{13}$ и $b=\dfrac{4}{13}$.

1. 1
   Выражение под корнем является квадратом суммы:$$a^2+10ab+25b^2=(a+5b)^2$$
2. 2
   Следовательно, значение выражения равно $a+5b$, так как оба числа положительны:$$\sqrt{(a+5b)^2}=a+5b$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение выражения с корнем

Найдите значение выражения $\sqrt{a^2 + 4ab + 4b^2}$ при $a = 2$ и $b = -4$.

1. 1
   Выражение под корнем является квадратом суммы:$$a^2 + 4ab + 4b^2 = (a+2b)^2$$
2. 2
   Подставим значения переменных и учтём, что квадратный корень из квадрата равен модулю:$$\sqrt{(a+2b)^2} = |a+2b| = |2+2\cdot(-4)| = |-6| = 6$$

Значение произведения корней

Найдите значение выражения $2\sqrt{13}\cdot5\sqrt{2}\cdot\sqrt{26}$.

1. 1
   Перемножим числовые множители и объединим корни под одним знаком.$$2\sqrt{13}\cdot5\sqrt{2}\cdot\sqrt{26}=10\sqrt{13\cdot2\cdot26}$$
2. 2
   Вычислим подкоренное выражение и извлечём квадратный корень.$$10\sqrt{13\cdot2\cdot26}=10\sqrt{676}=10\cdot26=260$$

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $\sqrt{\dfrac{25x^4}{y^6}}$ при $x = 10$ и $y = 5$.

1. 1
   Подставим $x = 10$ и $y = 5$ в выражение.$$\sqrt{\dfrac{25 \cdot 10^4}{5^6}}$$
2. 2
   Вычислим значения степеней и упростим выражение.$$\sqrt{\dfrac{25 \cdot 10000}{15625}} = \sqrt{16}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $a^7 \cdot a^{19} : a^{23}$ при $a = 2$.

1. 1
   Используем свойства степеней с одинаковым основанием.$$a^7 \cdot a^{19} : a^{23} = a^{7+19-23} = a^3$$
2. 2
   Подставляем значение $a = 2$.$$2^3 = 8$$

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $\dfrac{(a^7)^3}{a^{18}}$ при $a = 2$.

1. 1
   Применим свойство степени степени: показатель степени умножается на показатель внешней степени.$$(a^7)^3 = a^{21}$$
2. 2
   Разделим степени с одинаковым основанием.$$\dfrac{a^{21}}{a^{18}} = a^{21-18} = a^3$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $\dfrac{a^9 \cdot a^8}{a^{12}}$ при $a = 2$.

1. 1
   Используем свойства степеней с одинаковым основанием.$$\dfrac{a^9 \cdot a^8}{a^{12}} = a^{9+8-12} = a^5$$
2. 2
   Подставим значение $a = 2$ и вычислим степень.$$2^5 = 32$$

Упростить выражение с корнем

Найдите значение выражения $\left(\sqrt{15}-2\right)^2+4\sqrt{15}$.

1. 1
   Раскроем квадрат разности:$$\left(\sqrt{15}-2\right)^2=15-4\sqrt{15}+4$$
2. 2
   Подставим результат в исходное выражение и сократим противоположные слагаемые:$$15-4\sqrt{15}+4+4\sqrt{15}=19$$

Значение выражения с корнем

Найдите значение выражения $\left(\sqrt{17}+2\right)^2-4\sqrt{17}$.

1. 1
   Раскроем квадрат суммы:$$\left(\sqrt{17}+2\right)^2=17+4\sqrt{17}+4$$
2. 2
   Подставим полученное выражение и сократим противоположные слагаемые:$$17+4\sqrt{17}+4-4\sqrt{17}=21$$

Значение степени

Найдите значение выражения $\dfrac{2^{-7} \cdot 2^{17}}{2^8}$.

1. 1
   При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются, а при делении вычитаются.$$\dfrac{2^{-7} \cdot 2^{17}}{2^8} = 2^{-7+17-8}$$
2. 2
   Вычисляем показатель степени и значение выражения.$$2^{-7+17-8} = 2^2 = 4$$

Значение выражения с корнем

Найдите значение выражения $(\sqrt{19}+5)^2-10\sqrt{19}$.

1. 1
   Раскроем квадрат суммы:$$(\sqrt{19}+5)^2=(\sqrt{19})^2+2\cdot\sqrt{19}\cdot5+5^2$$
2. 2
   Упростим выражение и сократим противоположные слагаемые:$$19+10\sqrt{19}+25-10\sqrt{19}=44$$

Значение выражения с корнем

Найдите значение выражения $\sqrt{\dfrac{16x^4}{y^6}}$ при $x = 4$ и $y = 2$.

1. 1
   Подставим $x = 4$ и $y = 2$ в выражение.$$\sqrt{\dfrac{16 \cdot 4^4}{2^6}}$$
2. 2
   Вычислим степени и значение выражения под корнем.$$\sqrt{\dfrac{16 \cdot 256}{64}} = \sqrt{64}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $\dfrac{6^7}{2^6 \cdot 3^5}$.

1. 1
   Представим степень числа $6$ через степени простых множителей:$$6^7 = (2 \cdot 3)^7 = 2^7 \cdot 3^7$$
2. 2
   Подставим это выражение и применим правило деления степеней с одинаковыми основаниями:$$\dfrac{6^7}{2^6 \cdot 3^5} = \dfrac{2^7 \cdot 3^7}{2^6 \cdot 3^5} = 2^{7-6} \cdot 3^{7-5}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение выражения с корнями

Найдите значение выражения $\left(\sqrt{27}-\sqrt{3}\right)\cdot\sqrt{3}$.

1. 1
   Разложим число $27$ на множители и упростим квадратный корень.$$\sqrt{27}=\sqrt{9\cdot3}=3\sqrt{3}$$
2. 2
   Подставим полученное значение в выражение и вынесем общий множитель.$$\left(\sqrt{27}-\sqrt{3}\right)\cdot\sqrt{3}=\left(3\sqrt{3}-\sqrt{3}\right)\cdot\sqrt{3}=2\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение степенного выражения

Найдите значение выражения $\dfrac{15^8}{3^6 \cdot 5^7}$.

1. 1
   Представим число $15$ как произведение $3 \cdot 5$ и применим свойство степени произведения.$$15^8 = (3 \cdot 5)^8 = 3^8 \cdot 5^8$$
2. 2
   Разделим степени с одинаковыми основаниями, вычитая показатели.$$\dfrac{15^8}{3^6 \cdot 5^7} = \dfrac{3^8 \cdot 5^8}{3^6 \cdot 5^7} = 3^{8-6} \cdot 5^{8-7}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Свойства степеней числа 11

Найдите значение выражения $\dfrac{11^{-3} \cdot 11^{12}}{11^8}$.

1. 1
   Объединим степени с одинаковым основанием, сложив показатель при умножении и вычтя показатель при делении.$$\dfrac{11^{-3} \cdot 11^{12}}{11^8} = 11^{-3+12-8}$$
2. 2
   Вычислим показатель степени и значение выражения.$$11^{-3+12-8} = 11^1 = 11$$

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $\sqrt{\dfrac{1}{25}\cdot x^6y^4}$ при $x=5$ и $y=2$.

1. 1
   Подставим $x=5$ и $y=2$ в выражение.$$\sqrt{\dfrac{1}{25}\cdot 5^6\cdot 2^4}$$
2. 2
   Вычислим значение подкоренного выражения.$$\dfrac{1}{25}\cdot 5^6\cdot 2^4=\dfrac{1}{25}\cdot 15625\cdot 16=10000$$

Ещё 1 шаг — в полном решении