Решения заданий ФИПИ ОГЭ по математике: «Степени и выражения» — с ответами

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $\dfrac{(3 \cdot 4)^4}{3^2 \cdot 4^3}$.

1. 1
   Раскроем степень произведения в числителе.$$(3 \cdot 4)^4 = 3^4 \cdot 4^4$$
2. 2
   Сократим степени с одинаковыми основаниями, вычитая показатели.$$\dfrac{3^4 \cdot 4^4}{3^2 \cdot 4^3} = 3^{4-2} \cdot 4^{4-3}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение выражения с корнем

Найдите значение выражения $\sqrt{36a^2 + 12ab + b^2}$ при $a = \frac{4}{5}$ и $b = 8\frac{1}{5}$.

1. 1
   Подкоренное выражение является квадратом суммы:$$36a^2 + 12ab + b^2 = (6a+b)^2$$
2. 2
   Так как значение $6a+b$ положительно, квадратный корень равен $6a+b$:$$\sqrt{(6a+b)^2}=6a+b$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение выражения с корнями

Найдите значение выражения $\left(\sqrt{32}-\sqrt{2}\right)\cdot\sqrt{2}$.

1. 1
   Упростим первый корень:$$\sqrt{32}=\sqrt{16\cdot 2}=4\sqrt{2}$$
2. 2
   Подставим полученное значение в выражение и приведём подобные слагаемые:$$\left(4\sqrt{2}-\sqrt{2}\right)\cdot\sqrt{2}=3\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $\dfrac{10^9}{2^6 \cdot 5^8}$.

1. 1
   Представим $10^9$ как произведение степеней чисел $2$ и $5$:$$10^9 = (2 \cdot 5)^9 = 2^9 \cdot 5^9$$
2. 2
   Подставим это выражение и сократим степени с одинаковыми основаниями:$$\dfrac{10^9}{2^6 \cdot 5^8} = \dfrac{2^9 \cdot 5^9}{2^6 \cdot 5^8} = 2^{9-6} \cdot 5^{9-8} = 2^3 \cdot 5$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение числового выражения

Найдите значение выражения $\dfrac{(2\sqrt{5})^2}{160}$.

1. 1
   Возведём произведение в квадрат и учтём, что $(\sqrt{5})^2=5$.$$(2\sqrt{5})^2=2^2\cdot(\sqrt{5})^2=4\cdot5=20$$
2. 2
   Разделим полученное значение на 160 и сократим дробь.$$\dfrac{20}{160}=\dfrac{1}{8}=0{,}125$$

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $\dfrac{a^{14}\cdot(b^4)^3}{(a\cdot b)^{12}}$ при $a=3$ и $b=\sqrt{3}$.

1. 1
   Применим свойства степеней к числителю и знаменателю.$$(b^4)^3=b^{12},\qquad (a\cdot b)^{12}=a^{12}b^{12}$$
2. 2
   Сократим одинаковые множители $a^{12}$ и $b^{12}$.$$\dfrac{a^{14}\cdot b^{12}}{a^{12}b^{12}}=a^{14-12}=a^2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение выражения с корнями

Найдите значение выражения $(\sqrt{50}+\sqrt{2})\cdot\sqrt{2}$.

1. 1
   Разложим число $50$ на множители и упростим корень:$$\sqrt{50}=\sqrt{25\cdot2}=5\sqrt{2}$$
2. 2
   Подставим полученное выражение и приведём подобные слагаемые:$$(\sqrt{50}+\sqrt{2})\cdot\sqrt{2}=(5\sqrt{2}+\sqrt{2})\cdot\sqrt{2}=6\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение степени под корнем

Найдите значение выражения $\sqrt{3^6}$.

1. 1
   Преобразуем степень под корнем в квадрат:$$\sqrt{3^6}=\sqrt{(3^3)^2}$$
2. 2
   Извлекаем квадратный корень и вычисляем степень:$$3^3=27$$

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $\dfrac{(2 \cdot 5)^6}{2^4 \cdot 5^5}$.

1. 1
   Раскроем степень произведения в числителе:$$(2 \cdot 5)^6 = 2^6 \cdot 5^6$$
2. 2
   Сократим степени с одинаковыми основаниями:$$\dfrac{2^6 \cdot 5^6}{2^4 \cdot 5^5} = 2^{6-4} \cdot 5^{6-5}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение выражения с корнем

Найдите значение выражения $\sqrt{a^2 - 12ab + 36b^2}$ при $a = 8$ и $b = 3$.

1. 1
   Подкоренное выражение является квадратом двучлена:$$a^2 - 12ab + 36b^2 = (a - 6b)^2$$
2. 2
   Подставим значения $a = 8$ и $b = 3$:$$\sqrt{(8 - 6 \cdot 3)^2} = \sqrt{(-10)^2} = 10$$

Степени с одинаковым основанием

Найдите значение выражения $\dfrac{a^{10} \cdot a^{12}}{a^{19}}$ при $a = 2$.

1. 1
   Используем свойства степеней с одинаковым основанием: при умножении показатели складываются, а при делении вычитаются.$$\dfrac{a^{10} \cdot a^{12}}{a^{19}} = a^{10+12-19} = a^3$$
2. 2
   Подставляем значение $a = 2$ и вычисляем.$$a^3 = 2^3 = 8$$

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $\dfrac{3^{13} \cdot 7^{10}}{21^{10}}$.

1. 1
   Разложим число $21$ на множители и возведём произведение в степень:$$21^{10} = (3 \cdot 7)^{10} = 3^{10} \cdot 7^{10}$$
2. 2
   Сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе:$$\dfrac{3^{13} \cdot 7^{10}}{3^{10} \cdot 7^{10}} = 3^{13-10} = 3^3$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Свойства квадратного корня

Найдите значение выражения $\left(\sqrt{29}-4\right)\left(\sqrt{29}+4\right)$.

1. 1
   Применим формулу разности квадратов.$$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$$
2. 2
   Подставим значения и вычислим:$$\left(\sqrt{29}-4\right)\left(\sqrt{29}+4\right)=\left(\sqrt{29}\right)^2-4^2=29-16=13$$

Вычисление значения степени

Найдите значение выражения $2^{-8} \cdot (2^6)^2$.

1. 1
   Применим правило возведения степени в степень.$$(2^6)^2 = 2^{6 \cdot 2} = 2^{12}$$
2. 2
   При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются.$$2^{-8} \cdot 2^{12} = 2^{-8+12} = 2^4$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Умножение квадратных корней

Найдите значение выражения $5\sqrt{7}\cdot 6\sqrt{3}\cdot \sqrt{21}$.

1. 1
   Перемножим числовые множители и объединим корни.$$5\sqrt{7}\cdot 6\sqrt{3}\cdot\sqrt{21}=30\sqrt{7\cdot3\cdot21}$$
2. 2
   Вычислим подкоренное выражение и извлечём квадратный корень.$$30\sqrt{441}=30\cdot21=630$$

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $\dfrac{1}{2^{-19}} \cdot \dfrac{1}{2^{16}}$.

1. 1
   Заменим деление на степень с отрицательным показателем:$$\dfrac{1}{2^{-19}} \cdot \dfrac{1}{2^{16}} = 2^{19} \cdot 2^{-16}$$
2. 2
   При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются:$$2^{19} \cdot 2^{-16} = 2^{19-16} = 2^3$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $\dfrac{a^{16} \cdot a^{-7}}{a^6}$ при $a = 3$.

1. 1
   Объединим степени с одинаковым основанием:$$\dfrac{a^{16} \cdot a^{-7}}{a^6} = a^{16-7-6}$$
2. 2
   Упростим показатель степени:$$a^{16-7-6} = a^3$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение выражения с корнем

Найдите значение выражения $(\sqrt{5}+9)^2-18\sqrt{5}$.

1. 1
   Раскроем квадрат суммы:$$(\sqrt{5}+9)^2=(\sqrt{5})^2+2\cdot\sqrt{5}\cdot 9+9^2$$
2. 2
   Упростим выражение и сократим противоположные слагаемые:$$5+18\sqrt{5}+81-18\sqrt{5}=86$$

Значение степенного выражения

Найдите значение выражения $\sqrt{\dfrac{1}{4}\cdot x^8y^4}$ при $x=2$ и $y=3$.

1. 1
   Подставим $x=2$ и $y=3$ в выражение:$$\sqrt{\dfrac{1}{4}\cdot 2^8\cdot 3^4}$$
2. 2
   Вычислим степени и произведение под знаком корня:$$\sqrt{\dfrac{1}{4}\cdot256\cdot81}=\sqrt{5184}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение выражения с корнями

Найдите значение выражения $(\sqrt{32}+\sqrt{2})\cdot\sqrt{2}$.

1. 1
   Преобразуем первый корень:$$\sqrt{32}=\sqrt{16\cdot2}=4\sqrt{2}$$
2. 2
   Подставим полученное выражение и сложим подобные слагаемые:$$(\sqrt{32}+\sqrt{2})\cdot\sqrt{2}=(4\sqrt{2}+\sqrt{2})\cdot\sqrt{2}=5\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении