Решения заданий ФИПИ ОГЭ по математике: «Степени и выражения» — с ответами

Упростить выражение со степенями

Найдите значение выражения $\dfrac{a^{17} \cdot (b^5)^3}{(a \cdot b)^{15}}$ при $a = 7$ и $b = \sqrt{7}$.

1. 1
   Раскроем степени произведения и степени степени:$$\dfrac{a^{17} \cdot (b^5)^3}{(a \cdot b)^{15}} = \dfrac{a^{17} \cdot b^{15}}{a^{15} \cdot b^{15}}$$
2. 2
   Сократим одинаковые множители:$$\dfrac{a^{17} \cdot b^{15}}{a^{15} \cdot b^{15}} = a^{17-15} = a^2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Степень и корень

Найдите значение выражения $\sqrt{(-a)^8 \cdot a^2}$ при $a = 2$.

1. 1
   Подставим $a = 2$ в выражение:$$\sqrt{(-2)^8 \cdot 2^2}$$
2. 2
   Так как степень чётная, $(-2)^8 = 2^8$. Перемножим степени с одинаковым основанием:$$\sqrt{2^8 \cdot 2^2} = \sqrt{2^{10}}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Вычисление степени с целым показателем

Найдите значение выражения $\dfrac{1}{5^{-8}} \cdot \dfrac{1}{5^6}$.

1. 1
   Преобразуем первую дробь по правилу степени с отрицательным показателем:$$\dfrac{1}{5^{-8}}=5^8$$
2. 2
   Перемножим степени с одинаковым основанием:$$5^8 \cdot \dfrac{1}{5^6}=5^8 \cdot 5^{-6}=5^{8-6}=5^2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Упрощение выражения с корнями

Найдите значение выражения $\left(\sqrt{45}+\sqrt{5}\right)\cdot\sqrt{5}$.

1. 1
   Разложим число $45$ на множители и упростим корень:$$\sqrt{45}=\sqrt{9\cdot 5}=3\sqrt{5}$$
2. 2
   Подставим полученное значение и приведём подобные слагаемые:$$\left(\sqrt{45}+\sqrt{5}\right)\cdot\sqrt{5}=\left(3\sqrt{5}+\sqrt{5}\right)\cdot\sqrt{5}=4\sqrt{5}\cdot\sqrt{5}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение выражения с корнем

Найдите значение выражения $\sqrt{a^2 + 12ab + 36b^2}$ при $a = 7\frac{2}{5}$ и $b = \frac{3}{5}$.

1. 1
   Подкоренное выражение является квадратом суммы:$$a^2 + 12ab + 36b^2 = (a+6b)^2$$
2. 2
   Подставим значения $a$ и $b$:$$a+6b = 7\frac{2}{5} + 6\cdot\frac{3}{5} = \frac{37}{5} + \frac{18}{5} = 11$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение выражения с корнями

Найдите значение выражения $(\sqrt{41}-3)(\sqrt{41}+3)$.

1. 1
   Применим формулу разности квадратов для произведения суммы и разности.$$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$$
2. 2
   Подставим значения и вычислим.$$(\sqrt{41}-3)(\sqrt{41}+3)=(\sqrt{41})^2-3^2=41-9=32$$

Значение выражения с корнем

Найдите значение выражения $\sqrt{16a^2 + 8ab + b^2}$ при $a = \frac{3}{11}$ и $b = 5\frac{10}{11}$.

1. 1
   Подкоренное выражение является квадратом суммы:$$16a^2 + 8ab + b^2 = (4a+b)^2$$
2. 2
   Следовательно, значение выражения равно $4a+b$:$$\sqrt{(4a+b)^2}=4a+b$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $\sqrt{\dfrac{16a^{14}}{a^8}}$ при $a=3$.

1. 1
   Упростим дробь степеней:$$\dfrac{16a^{14}}{a^8}=16a^{14-8}=16a^6$$
2. 2
   Извлечём квадратный корень:$$\sqrt{16a^6}=4a^3$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Рационализация знаменателей

Найдите значение выражения $\dfrac{1}{2+\sqrt{3}}+\dfrac{1}{2-\sqrt{3}}$.

1. 1
   Приведём дроби к общему знаменателю:$$\dfrac{1}{2+\sqrt{3}}+\dfrac{1}{2-\sqrt{3}}=\dfrac{(2-\sqrt{3})+(2+\sqrt{3})}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}$$
2. 2
   Упростим числитель и знаменатель, применив разность квадратов:$$\dfrac{4}{2^2-(\sqrt{3})^2}=\dfrac{4}{4-3}=4$$

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $\sqrt{\dfrac{1}{25}\cdot x^8y^2}$ при $x=3$ и $y=5$.

1. 1
   Подставим $x=3$ и $y=5$ в выражение.$$\sqrt{\dfrac{1}{25}\cdot 3^8\cdot 5^2}$$
2. 2
   Сократим множитель $5^2=25$ с числом в знаменателе.$$\sqrt{\dfrac{1}{25}\cdot 3^8\cdot 25}=\sqrt{3^8}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Произведение сопряжённых выражений

Найдите значение выражения $(\sqrt{19}-\sqrt{2})(\sqrt{19}+\sqrt{2})$.

1. 1
   Применим формулу разности квадратов.$$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$$
2. 2
   Подставим значения под корнями и вычислим:$$(\sqrt{19}-\sqrt{2})(\sqrt{19}+\sqrt{2})=(\sqrt{19})^2-(\sqrt{2})^2=19-2=17$$

Степени с целым показателем

Найдите значение выражения $a^{-15} \cdot (a^9)^2$ при $a = 2$.

1. 1
   Применим правило возведения степени в степень:$$(a^9)^2 = a^{18}$$
2. 2
   При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются:$$a^{-15} \cdot a^{18} = a^3$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение степени и дроби

Найдите значение выражения $\dfrac{4^5}{16}$.

1. 1
   Представим число $16$ в виде степени с основанием $4$:$$16=4^2$$
2. 2
   Применим правило деления степеней с одинаковым основанием:$$\dfrac{4^5}{16}=\dfrac{4^5}{4^2}=4^{5-2}=4^3=64$$

Значение выражения с корнями

Найдите значение выражения $\left(\sqrt{45}-\sqrt{5}\right)\cdot\sqrt{5}$.

1. 1
   Разложим число $45$ на множители и упростим корень:$$\sqrt{45}=\sqrt{9\cdot5}=3\sqrt{5}$$
2. 2
   Подставим полученное выражение и выполним действия:$$(3\sqrt{5}-\sqrt{5})\cdot\sqrt{5}=2\sqrt{5}\cdot\sqrt{5}=2\cdot5=10$$

Свойства степеней

Найдите значение выражения $a^6 \cdot a^{18} : a^{20}$ при $a = 2$.

1. 1
   Применим свойства степеней с одинаковым основанием: при умножении показатели складываются, а при делении вычитаются.$$a^6 \cdot a^{18} : a^{20} = a^{6+18-20} = a^4$$
2. 2
   Подставим значение $a = 2$ и вычислим степень.$$2^4 = 16$$

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $(a^3)^{-4} : a^{-14}$ при $a = 5$.

1. 1
   Преобразуем степень произведения показателей:$$(a^3)^{-4} = a^{-12}$$
2. 2
   При делении степеней с одинаковым основанием вычитаем показатели:$$a^{-12} : a^{-14} = a^{-12-(-14)} = a^2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение выражения с корнем

Найдите значение выражения $\left(\sqrt{19}-7\right)^2+14\sqrt{19}$.

1. 1
   Раскроем квадрат разности:$$\left(\sqrt{19}-7\right)^2=\left(\sqrt{19}\right)^2-2\cdot\sqrt{19}\cdot7+7^2$$
2. 2
   Подставим полученное выражение и упростим:$$19-14\sqrt{19}+49+14\sqrt{19}=68$$

Значение выражения с корнем

Найдите значение выражения $\sqrt{a^2 - 6ab + 9b^2}$ при $a = 3$ и $b = 6$.

1. 1
   Подкоренное выражение представляет собой квадрат разности:$$a^2 - 6ab + 9b^2 = (a - 3b)^2$$
2. 2
   Тогда значение выражения равно модулю разности:$$\sqrt{(a - 3b)^2} = |a - 3b|$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $\dfrac{7^{-3} \cdot 7^{13}}{7^8}$.

1. 1
   Применим свойства степеней с одинаковым основанием и объединим степени.$$\dfrac{7^{-3} \cdot 7^{13}}{7^8} = 7^{-3+13-8}$$
2. 2
   Вычислим показатель степени.$$-3+13-8=2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $\dfrac{(a^9)^3 \cdot a^7}{a^{29}}$ при $a = 2$.

1. 1
   Преобразуем степень в скобках и объединим степени с одинаковым основанием.$$(a^9)^3 \cdot a^7 = a^{9 \cdot 3} \cdot a^7 = a^{27+7} = a^{34}$$
2. 2
   Разделим степени с одинаковым основанием.$$\dfrac{a^{34}}{a^{29}} = a^{34-29} = a^5$$

Ещё 1 шаг — в полном решении