Решения заданий ФИПИ ОГЭ по математике: «Степени и выражения» — с ответами

Значение выражения со степенью

Найдите значение выражения $\dfrac{5^5}{25}$.

1. 1
   Представим знаменатель в виде степени с основанием $5$:$$25=5^2$$
2. 2
   Применим правило деления степеней с одинаковым основанием:$$\dfrac{5^5}{25}=\dfrac{5^5}{5^2}=5^{5-2}=5^3=125$$

Значение выражения с корнем

Найдите значение выражения $\sqrt{a^2 + 10ab + 25b^2}$ при $a = 8$ и $b = -2$.

1. 1
   Преобразуем выражение под корнем по формуле квадрата суммы.$$a^2 + 10ab + 25b^2 = (a + 5b)^2$$
2. 2
   Подставим значения $a$ и $b$ и учтём, что квадратный корень из квадрата равен модулю.$$\sqrt{(a + 5b)^2} = |a + 5b| = |8 + 5 \cdot (-2)| = |-2| = 2$$

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $\sqrt{(-a)^4 \cdot a^4}$ при $a = 2$.

1. 1
   Подставим $a = 2$ в исходное выражение.$$\sqrt{(-2)^4 \cdot 2^4}$$
2. 2
   Чётная степень убирает знак минус, поэтому произведение можно представить как степень с основанием $2$.$$\sqrt{2^4 \cdot 2^4} = \sqrt{2^8}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $\dfrac{7^4 \cdot 9^6}{63^4}$.

1. 1
   Представим число $63$ как произведение $7 \cdot 9$.$$63^4 = (7 \cdot 9)^4 = 7^4 \cdot 9^4$$
2. 2
   Сократим одинаковый множитель $7^4$ и степени числа $9.$$\dfrac{7^4 \cdot 9^6}{7^4 \cdot 9^4} = 9^{6-4} = 9^2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $(a^5)^{-3}:a^{-19}$ при $a=3$.

1. 1
   Применим правило возведения степени в степень:$$(a^5)^{-3}=a^{5\cdot(-3)}=a^{-15}$$
2. 2
   При делении степеней с одинаковым основанием вычитаем показатели:$$a^{-15}:a^{-19}=a^{-15-(-19)}=a^4$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $\sqrt{(-a)^4 \cdot a^2}$ при $a = 5$.

1. 1
   Подставим $a = 5$ в выражение:$$\sqrt{(-5)^4 \cdot 5^2}$$
2. 2
   Так как четвёртая степень отрицательного числа положительна, объединим степени:$$\sqrt{5^4 \cdot 5^2} = \sqrt{5^6}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Упростить выражение со степенями

Найдите значение выражения $\dfrac{6^{12} \cdot 11^{10}}{66^{10}}$.

1. 1
   Представим основание степени в знаменателе как произведение $6$ и $11$:$$66^{10} = (6 \cdot 11)^{10} = 6^{10} \cdot 11^{10}$$
2. 2
   Подставим это выражение и сократим одинаковые множители:$$\dfrac{6^{12} \cdot 11^{10}}{6^{10} \cdot 11^{10}} = 6^{12-10} = 6^2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение корня выражения

Найдите значение выражения $\sqrt{a^2 - 8ab + 16b^2}$ при $a = 4$ и $b = 3$.

1. 1
   Выражение под корнем является квадратом разности:$$a^2 - 8ab + 16b^2 = (a - 4b)^2$$
2. 2
   Подставим значения переменных:$$\sqrt{(4 - 4 \cdot 3)^2} = \sqrt{(-8)^2} = 8$$

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $3^{-8} \cdot (3^6)^2$.

1. 1
   Преобразуем степень степени.$$(3^6)^2 = 3^{6 \cdot 2} = 3^{12}$$
2. 2
   Перемножаем степени с одинаковым основанием.$$3^{-8} \cdot 3^{12} = 3^{-8+12} = 3^4$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение выражения с корнями

Найдите значение выражения $\sqrt{2\cdot45}\cdot\sqrt{10}$.

1. 1
   Объединим произведение квадратных корней в один корень:$$\sqrt{2\cdot45}\cdot\sqrt{10}=\sqrt{2\cdot45\cdot10}$$
2. 2
   Вычислим подкоренное выражение и найдём квадратный корень:$$\sqrt{2\cdot45\cdot10}=\sqrt{900}=30$$

Значение выражения с корнями

Найдите значение выражения $(\sqrt{27}+\sqrt{3})\cdot\sqrt{3}$.

1. 1
   Представим число $27$ как произведение $9\cdot3$ и упростим корень.$$\sqrt{27}=\sqrt{9\cdot3}=3\sqrt{3}$$
2. 2
   Подставим полученное выражение и приведём подобные слагаемые.$$(\sqrt{27}+\sqrt{3})\cdot\sqrt{3}=(3\sqrt{3}+\sqrt{3})\cdot\sqrt{3}=4\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $a^{19} \cdot a^{-8} : a^9$ при $a = 6$.

1. 1
   Используем свойства степеней с одинаковым основанием: при умножении показатели складываются, а при делении вычитаются.$$a^{19} \cdot a^{-8} : a^9 = a^{19-8-9}$$
2. 2
   Упростим показатель степени.$$a^{19-8-9} = a^2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $a^{-12} \cdot (a^7)^2$ при $a = 5$.

1. 1
   Применим правило возведения степени в степень:$$(a^7)^2 = a^{14}$$
2. 2
   Сложим показатели степеней при умножении:$$a^{-12} \cdot a^{14} = a^2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение выражения с корнями

Найдите значение выражения $\dfrac{\sqrt{15}\cdot\sqrt{12}}{\sqrt{20}}$.

1. 1
   Объединим множители под одним знаком корня:$$\dfrac{\sqrt{15}\cdot\sqrt{12}}{\sqrt{20}}=\sqrt{\dfrac{15\cdot12}{20}}$$
2. 2
   Вычислим значение подкоренного выражения:$$\dfrac{15\cdot12}{20}=9$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение выражения со степенью

Найдите значение выражения $(\sqrt{3}+8)^2-16\sqrt{3}$.

1. 1
   Раскроем квадрат суммы:$$(\sqrt{3}+8)^2=(\sqrt{3})^2+2\cdot\sqrt{3}\cdot8+8^2=3+16\sqrt{3}+64$$
2. 2
   Подставим полученное выражение и сократим противоположные слагаемые:$$3+16\sqrt{3}+64-16\sqrt{3}=3+64=67$$

Значение степени выражения

Найдите значение выражения $\dfrac{(a^6)^3}{a^{15}}$ при $a = 4$.

1. 1
   Преобразуем степень в числителе:$$(a^6)^3 = a^{18}$$
2. 2
   Выполним деление степеней с одинаковым основанием:$$\dfrac{a^{18}}{a^{15}} = a^{18-15} = a^3$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $\sqrt{a^6 \cdot (-a)^4}$ при $a = 2$.

1. 1
   Подставим $a = 2$ в выражение:$$\sqrt{2^6 \cdot (-2)^4}$$
2. 2
   Вычислим значения степеней:$$\sqrt{64 \cdot 16} = \sqrt{1024}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $\left(a^7\right)^{-2}:a^{-16}$ при $a=3$.

1. 1
   Применим правило возведения степени в степень:$$\left(a^7\right)^{-2}=a^{-14}$$
2. 2
   Разделим степени с одинаковым основанием:$$a^{-14}:a^{-16}=a^{-14-(-16)}=a^2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение степени с делением

Найдите значение выражения $\dfrac{3^6}{9}$.

1. 1
   Представим число $9$ как степень числа $3$:$$9=3^2$$
2. 2
   Применим правило деления степеней с одинаковым основанием:$$\dfrac{3^6}{9}=\dfrac{3^6}{3^2}=3^{6-2}=3^4$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение выражения с корнями

Найдите значение выражения $(\sqrt{12}-\sqrt{3})\cdot\sqrt{3}$.

1. 1
   Упростим квадратный корень из 12:$$\sqrt{12}=\sqrt{4\cdot3}=2\sqrt{3}$$
2. 2
   Подставим полученное выражение и выполним действия:$$(2\sqrt{3}-\sqrt{3})\cdot\sqrt{3}=\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}=3$$