Решение: График с модулем
Постройте график функции $y=\dfrac{(0{,}25x^2-x)\cdot |x|}{x-4}$. Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ не имеет с графиком ни одной общей точки.
Решение по шагам
6 шаговОбласть определения исходной функции задаётся условием $x\ne 4$.
При $x<0$ имеем $|x|=-x$. Тогда
$$y=\frac{(0{,}25x^2-x)(-x)}{x-4}=\frac{-x^2(0{,}25x-1)}{x-4}=-\frac{x^2}{4}$$При $x\geqslant 0$ имеем $|x|=x$. Тогда
$$y=\frac{(0{,}25x^2-x)x}{x-4}=\frac{x^2(0{,}25x-1)}{x-4}=\frac{x^2}{4}$$Следовательно, график состоит из левой части параболы $y=-\dfrac{x^2}{4}$ при $x<0$ и правой части параболы $y=\dfrac{x^2}{4}$ при $x\geqslant 0$, $x\ne 4$. В точке $(4;4)$ находится выколотая точка.
Значения функции на левой ветви отрицательны, а на правой ветви функция принимает все неотрицательные значения, кроме значения $4$, поскольку точка с абсциссой $x=4$ исключена.
Горизонтальная прямая $y=m$ не пересекает график только в том случае, если значение $m$ отсутствует среди значений функции.
$m=4$
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Забывают, что значение $x=4$ исключено из области определения после сокращения дроби.
Не отмечают выколотую точку $(4;4)$ на графике.
Считают, что после сокращения функция равна $\dfrac{x^2}{4}$ при всех $x\geqslant 0$, включая $x=4$.
Ошибочно включают значение $4$ в множество значений функции.