Решение: График функции с модулями
Постройте график функции $y=x|x|+2|x|-5x$. Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно две общие точки.
Решение по шагам
7 шаговРаскроем модули при $x\geq 0$: $|x|=x$. Поэтому правая часть графика задаётся формулой
$$y=x^2+2x-5x=x^2-3x,\quad x\geq 0$$При $x<0$ имеем $|x|=-x$. Поэтому левая часть графика задаётся формулой
$$y=-x^2-2x-5x=-x^2-7x,\quad x<0$$График при $x\geq 0$ — правая часть параболы $y=x^2-3x$. Её вершина имеет абсциссу $x=\dfrac{3}{2}$ и ординату
$$y\left(\dfrac{3}{2}\right)=\left(\dfrac{3}{2}\right)^2-3\cdot\dfrac{3}{2}=-\dfrac{9}{4}$$График при $x<0$ — левая часть параболы $y=-x^2-7x$. Её вершина имеет абсциссу $x=-\dfrac{7}{2}$ и ординату
$$y\left(-\dfrac{7}{2}\right)=-\left(-\dfrac{7}{2}\right)^2-7\left(-\dfrac{7}{2}\right)=\dfrac{49}{4}$$Для уровня $m=-\dfrac{9}{4}$ горизонтальная прямая касается правой части параболы в её вершине и пересекает левую часть в одной точке. Всего получается ровно две общие точки.
Для уровня $m=\dfrac{49}{4}$ горизонтальная прямая касается левой части параболы в её вершине и пересекает правую часть в одной точке. Всего также получается ровно две общие точки.
При остальных значениях $m$ число пересечений отлично от двух: между уровнями вершин прямая пересекает график в трёх точках, а вне них — в одной или трёх точках с учётом граничного уровня $m=0$.
График задаётся формулами $y=x^2-3x$ при $x\geq 0$ и $y=-x^2-7x$ при $x<0$. Прямая $y=m$ имеет с графиком ровно две общие точки при $m=-\dfrac{9}{4}$ или $m=\dfrac{49}{4}$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не разделяют область определения на случаи $x\geq 0$ и $x<0$.
Ошибочно включают точку $x=0$ в левую часть графика.
Находят вершины парабол, но не подсчитывают число пересечений горизонтальной прямой с каждой частью графика.
Забывают, что при $m=0$ точка $x=0$ относится только к правой части.