Решение: График рациональной функции
Постройте график функции $y=\dfrac{4x-5}{4x^2-5x}$. Определите, при каких значениях $k$ прямая $y=kx$ имеет с графиком ровно одну общую точку.
Решение по шагам
6 шаговРазложим знаменатель на множители и определим область определения функции.
$$4x^2-5x=x(4x-5),\quad x\ne 0,\quad x\ne \dfrac{5}{4}$$Сократим дробь с учётом ограничений области определения.
$$y=\dfrac{4x-5}{x(4x-5)}=\dfrac{1}{x},\quad x\ne 0,\quad x\ne \dfrac{5}{4}$$График — гипербола $y=\dfrac{1}{x}$ с выколотой точкой, соответствующей $x=\dfrac{5}{4}$.
$$y=\dfrac{1}{\frac{5}{4}}=\dfrac{4}{5}$$Для поиска общих точек с прямой $y=kx$ приравняем значения функций.
$$\dfrac{1}{x}=kx\quad\Longleftrightarrow\quad kx^2=1$$При $k>0$ уравнение имеет два противоположных корня. Ровно одна общая точка получится, если один из корней окажется исключённым: $x=\dfrac{5}{4}$.
$$k\left(\dfrac{5}{4}\right)^2=1\quad\Longrightarrow\quad k=\dfrac{16}{25}$$При $k=0$ и при $k<0$ действительных решений уравнения $kx^2=1$ нет. При $k>0$, кроме найденного случая, остаются две общие точки.
График — гипербола $y=\dfrac{1}{x}$ с выколотой точкой $\left(\dfrac{5}{4};\dfrac{4}{5}\right)$. Ровно одна общая точка получается при $k=\dfrac{16}{25}$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не указать ограничения $x\ne 0$ и $x\ne \dfrac{5}{4}$ после сокращения дроби.
Построить полную гиперболу $y=\dfrac{1}{x}$ без выколотой точки.
Считать, что при любом $k>0$ прямая имеет ровно одну общую точку.
Забыть проверить случай, когда один из корней уравнения пересечения совпадает с исключённым значением.