Решение: График модуля квадратного трёхчлена
Постройте график функции $y = \left|x^2 + 2x - 3\right|$. Какое наибольшее число общих точек может иметь график данной функции с прямой, параллельной оси абсцисс?
Решение по шагам
5 шаговРазложим квадратный трёхчлен на множители и найдём его нули:
$$x^2 + 2x - 3 = (x+3)(x-1), \quad x=-3,\; x=1$$Вершина параболы $y=x^2+2x-3$ имеет абсциссу $x=-1$. Значение функции в вершине равно $-4$.
$$y(-1)=(-1)^2+2(-1)-3=-4$$После взятия модуля часть параболы, расположенная ниже оси абсцисс, отражается вверх. Поэтому график проходит через точки $(-3,0)$ и $(1,0)$, а между ними имеет максимум в точке $(-1,4)$.
$$y=\begin{cases}x^2+2x-3, & x\leq -3\text{ или }x\geq 1,\\ -(x^2+2x-3), & -3\leq x\leq 1\end{cases}$$Рассмотрим горизонтальную прямую $y=c$. При $0<c<4$ она пересекает каждую из двух внешних ветвей один раз и перевёрнутую дугу два раза.
Таким образом, наибольшее число общих точек достигается при $0<c<4$ и равно четырём.
Наибольшее число общих точек — 4.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не отражают относительно оси абсцисс часть параболы, где $x^2+2x-3<0$.
Считают только пересечения с внутренней дугой и забывают о двух внешних ветвях.
Указывают 3 точки для уровня $y=4$, хотя при уровнях $0<y<4$ пересечений четыре.