Решение: Стороны треугольника по медиане
В треугольнике $ABC$ биссектриса $BE$ и медиана $AD$ перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную $36$. Найдите стороны треугольника $ABC$.
Решение по шагам
8 шаговОбозначим $AB=c$, $BC=a$, а половину угла $B$ — через $\alpha$. Введём координаты так, чтобы биссектриса $BE$ совпадала с осью абсцисс, а точка $B$ имела координаты $(0,0)$. Тогда можно записать:
$$A=(c\cos\alpha,c\sin\alpha),\quad C=(a\cos\alpha,-a\sin\alpha)$$Пусть $D$ — середина стороны $BC$. Тогда:
$$D=\left(\frac{a\cos\alpha}{2},-\frac{a\sin\alpha}{2}\right)$$Так как $AD\perp BE$, отрезок $AD$ должен быть вертикальным. Следовательно, абсциссы точек $A$ и $D$ равны:
$$c\cos\alpha=\frac{a\cos\alpha}{2},\quad a=2c$$По условию $AD=36$. При $a=2c$ разность ординат точек $A$ и $D$ равна $2c\sin\alpha$, поэтому:
$$AD=2c\sin\alpha=36,\quad c\sin\alpha=18$$По теореме о биссектрисе точка $E$ делит сторону $AC$ в отношении $AE:EC=AB:BC=1:2$. Поэтому $E$ является точкой $(2A+C)/3$. Так как $BE=36$, а $E$ лежит на оси абсцисс, получаем:
$$BE=\frac{4c\cos\alpha}{3}=36,\quad c\cos\alpha=27$$Найдём сторону $AB$:
$$AB=c=\sqrt{(c\cos\alpha)^2+(c\sin\alpha)^2}=\sqrt{27^2+18^2}=9\sqrt{13}$$Так как $BC=2AB$, имеем:
$$BC=18\sqrt{13}$$Координаты вершин можно представить как $A=(27,18)$ и $C=(54,-36)$. Следовательно:
$$AC=\sqrt{(54-27)^2+(-36-18)^2}=\sqrt{27^2+54^2}=27\sqrt5$$AB=9\sqrt{13},\quad BC=18\sqrt{13},\quad AC=27\sqrt5
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Неверно применять теорему о биссектрисе: отношение отрезков должно быть $AE:EC=AB:BC$.
Забывать, что медиана $AD$ проводится к середине стороны $BC$.
Путать длину биссектрисы $BE$ с длиной её проекции на сторону или ось.
Не учитывать, что из условия $AD\perp BE$ следует равенство абсцисс точек $A$ и $D$.