Решение: Площадь трапеции с биссектрисой
Боковые стороны $AB$ и $CD$ трапеции $ABCD$ равны соответственно $16$ и $34$, а основание $BC$ равно $2$. Биссектриса угла $ADC$ проходит через середину стороны $AB$. Найдите площадь трапеции.
Решение по шагам
10 шаговРасположим трапецию в системе координат так, чтобы $D=(0,0)$, основание $AD$ лежало на оси абсцисс, а $C=(x,h)$. Тогда $CD=34$, поэтому
$$x^2+h^2=34^2$$Так как $BC=2$, точку $B$ можно записать как $B=(x-2,h)$, а $A=(a,0)$, где $a=AD$.
Единичные направляющие векторы лучей $DA$ и $DC$ имеют вид $(1,0)$ и $(x/34,h/34)$. Поэтому направление биссектрисы угла $ADC$ задаётся вектором $(34+x,h)$. На высоте $h/2$ эта биссектриса имеет абсциссу $(34+x)/2$.
Середина стороны $AB$ имеет координаты $((a+x-2)/2,h/2)$. По условию она лежит на биссектрисе, следовательно,
$$\frac{a+x-2}{2}=\frac{34+x}{2}$$Отсюда длина основания $AD$ равна
$$a=36$$Используем длины боковых сторон. Для стороны $CD$ имеем $x^2+h^2=1156$. Для стороны $AB$ получаем
$$(x-2-36)^2+h^2=16^2$$Вычитая второе равенство из первого, находим
$$x^2-(x-38)^2=1156-256=900$$После раскрытия скобок получаем $76x-1444=900$, откуда $x=586/19$. Тогда
$$h^2=1156-\left(\frac{586}{19}\right)^2=\frac{73920}{361}$$Следовательно, высота трапеции равна
$$h=\frac{8\sqrt{1155}}{19}$$Площадь трапеции равна полусумме оснований, умноженной на высоту:
$$S=\frac{AD+BC}{2}\cdot h=\frac{36+2}{2}\cdot\frac{8\sqrt{1155}}{19}=8\sqrt{1155}$$8\sqrt{1155}
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Неверно определить направление биссектрисы и использовать только один из лучей угла.
Перепутать боковые стороны с основаниями трапеции.
Забыть, что середина стороны $AB$ имеет высоту $h/2$.
При вычислении площади использовать не основания $AD$ и $BC$.