Диагональ $BD$ параллелограмма $ABCD$ образует с его сторонами углы, равные $60°$ и $55°$. Найдите меньший угол этого параллелограмма. Ответ дайте в градусах.
- 1
Диагональ $BD$ делит угол $B$ на два угла: $60°$ и $55°$.$$\angle B = 60° + 55° = 115°$$
- 2
Соседний с ним угол параллелограмма является меньшим, так как сумма соседних углов параллелограмма равна $180°$.$$\angle A = 180° - 115° = 65°$$
В равнобедренной трапеции с основаниями $AD$ и $BC$ угол $D$ равен $80^\circ$. Диагональ $AC$ образует со стороной $AB$ угол $30^\circ$. Сколько градусов составляет угол между этой диагональю и…
- 1
В равнобедренной трапеции углы при одном основании равны, поэтому угол $A$ равен углу $D$.$$\angle A = \angle D = 80^\circ$$
- 2
Диагональ $AC$ делит угол $A$ на угол между сторонами $AB$ и $AC$, равный $30^\circ$, и искомый угол между $AC$ и основанием $AD$.$$\angle CAD = \angle DAB - \angle BAC$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Острый угол ромба равен $44^\circ$. Сколько градусов составляет угол между стороной и меньшей диагональю ромба?
- 1
Соседние углы ромба в сумме составляют $180^\circ$, поэтому тупой угол равен:$$180^\circ - 44^\circ = 136^\circ$$
- 2
Меньшая диагональ ромба делит тупые углы пополам. Поэтому искомый угол равен:$$\dfrac{136^\circ}{2} = 68^\circ$$
Острый угол ромба равен $48^\circ$. Сколько градусов составляет угол между стороной и меньшей диагональю ромба?
- 1
Соседние углы ромба в сумме составляют $180^\circ$. Найдём тупой угол:$$180^\circ - 48^\circ = 132^\circ$$
- 2
Меньшая диагональ ромба делит тупой угол пополам, поэтому угол между стороной и диагональю равен:$$132^\circ : 2 = 66^\circ$$
Перпендикуляр, проведённый из точки пересечения диагоналей ромба к его стороне, образует с одной из его диагоналей угол $38°$. Сколько градусов составляет острый угол ромба?
- 1
Перпендикуляр к стороне ромба образует с диагональю угол $38°$. Поэтому угол между этой стороной и диагональю, перпендикулярной к ней, дополняет его до прямого угла.$$90° - 38° = 52°$$
- 2
Диагональ ромба делит угол ромба пополам, значит соответствующий тупой угол ромба равен:$$2 \cdot 52° = 104°$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Один из углов ромба равен $104^\circ$. Найдите меньший угол этого ромба. Ответ дайте в градусах.
- 1
Ромб является параллелограммом, поэтому сумма его соседних углов равна $180^\circ$.$$\alpha + \beta = 180^\circ$$
- 2
Вычислим угол, соседний с углом $104^\circ$:$$\beta = 180^\circ - 104^\circ = 76^\circ$$
В равнобедренной трапеции известны высота, меньшее основание и угол при основании (см. рисунок). Найдите большее основание.
- 1
Опустим из концов меньшего основания перпендикуляры на большее основание. Получатся два равных прямоугольных треугольника с высотой 5 и углом при основании $45^\circ$.
- 2
Обозначим длину выступа большей боковой части за $x$. Тогда$$\tan 45^\circ = \frac{5}{x}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В равнобедренной трапеции $ABCD$ угол $D$ равен $52^\circ$. Найдите градусную меру угла $ACD$, если луч $AC$ является биссектрисой угла $BAD$.
- 1
В равнобедренной трапеции углы при большем основании равны, поэтому$$\angle BAD = \angle ADC = 52^\circ$$
- 2
Луч $AC$ является биссектрисой угла $BAD$, значит$$\angle CAD = \frac{\angle BAD}{2} = \frac{52^\circ}{2} = 26^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Периметр ромба равен 28, а один из углов равен $30^\circ$. Найдите площадь этого ромба.
- 1
Все стороны ромба равны, поэтому длина его стороны равна:$$a=\frac{28}{4}=7$$
- 2
Площадь ромба через сторону и угол между сторонами:$$S=a^2\sin\alpha$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Один из углов параллелограмма равен $61^\circ$. Найдите больший угол этого параллелограмма. Ответ дайте в градусах.
- 1
Соседние углы параллелограмма являются supplementary, то есть их сумма равна $180^\circ$.$$\alpha + \beta = 180^\circ$$
- 2
Находим угол, смежный с данным:$$\beta = 180^\circ - 61^\circ = 119^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Один из углов ромба равен $110^\circ$. Сколько градусов составляет угол между высотой и большей диагональю ромба?
- 1
Соседние углы ромба в сумме дают $180^\circ$, поэтому острый угол ромба равен:$$180^\circ - 110^\circ = 70^\circ$$
- 2
Большая диагональ ромба проходит через его острые углы и делит их пополам. Значит, угол между диагональю и стороной равен:$$\frac{70^\circ}{2} = 35^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В равнобедренной трапеции с основаниями $AD$ и $BC$ угол $D$ равен $73^\circ$. Диагональ $AC$ образует со стороной $CD$ угол $53^\circ$. Сколько градусов составляет угол между этой диагональю и…
- 1
Так как основания трапеции параллельны, внутренние односторонние углы при боковой стороне $CD$ supplementary.$$\angle C = 180^\circ - \angle D = 180^\circ - 73^\circ = 107^\circ$$
- 2
Диагональ $AC$ делит угол $C$ на углы $BCA$ и $ACD$. По условию $\angle ACD = 53^\circ$.$$\angle BCA = \angle C - \angle ACD = 107^\circ - 53^\circ = 54^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Найдите площадь параллелограмма, изображённого на рисунке.
- 1
Найдём длину основания параллелограмма:$$a = 12 + 3 = 15$$
- 2
Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту:$$S = ah = 15 \cdot 5 = 75$$
Сторона квадрата равна $2\sqrt{2}$. Найдите диагональ этого квадрата.
- 1
Диагональ квадрата со стороной $a$ находится по формуле:$$d=a\sqrt{2}$$
- 2
Подставим значение стороны квадрата:$$d=2\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=2\cdot2=4$$
Основания трапеции равны 4 и 12, а высота равна 6. Найдите площадь этой трапеции.
- 1
Используем формулу площади трапеции.$$S = \dfrac{a+b}{2} \cdot h$$
- 2
Подставим значения оснований и высоты.$$S = \dfrac{4+12}{2} \cdot 6 = 8 \cdot 6 = 48$$
Площадь параллелограмма равна 28, а две его стороны равны 14 и 7. Найдите его высоты. В ответе укажите большую высоту.
- 1
Высоту параллелограмма найдём по формуле площади $S = ah$.$$h = \dfrac{S}{a}$$
- 2
Высота, проведённая к стороне длиной 14, равна:$$h_1 = \dfrac{28}{14} = 2$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Острый угол ромба равен $62^\circ$. Сколько градусов составляет угол между стороной и меньшей диагональю ромба?
- 1
Соседний с острым углом угол ромба является тупым:$$180^\circ-62^\circ=118^\circ$$
- 2
Меньшая диагональ ромба соединяет тупые вершины и делит тупые углы пополам:$$118^\circ:2=59^\circ$$
Высота равнобедренной трапеции, проведённая из вершины $C$, делит основание $AD$ на отрезки длиной 10 и 11. Найдите длину основания $BC$.
- 1
В равнобедренной трапеции высоты, проведённые из концов меньшего основания, отсекают на большем основании равные отрезки. Поэтому разность оснований равна разности двух данных отрезков.$$BC = 11 - 10$$
- 2
Вычисляем длину меньшего основания.$$BC = 1$$
Основания трапеции равны 4 и 6, а высота равна 4. Найдите среднюю линию этой трапеции.
- 1
Средняя линия трапеции равна полусумме её оснований.$$m = \dfrac{a+b}{2}$$
- 2
Подставим значения оснований:$$m = \dfrac{4+6}{2} = 5$$
Найдите острый угол параллелограмма $ABCD$, если биссектриса угла $A$ образует со стороной $BC$ угол, равный $33^\circ$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Так как $AD \parallel BC$, угол между биссектрисой угла $A$ и стороной $AD$ равен углу между этой биссектрисой и стороной $BC$.$$\angle BAD_1 = 33^\circ$$
- 2
Биссектриса делит угол $A$ на два равных угла, поэтому угол параллелограмма равен удвоенному найденному углу.$$\angle A = 2 \cdot 33^\circ = 66^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении