Сторона ромба равна 54, а один из углов этого ромба равен $150^\circ$. Найдите высоту этого ромба.
- 1
Высота ромба равна произведению его стороны на синус угла между стороной и основанием.$$h = a\sin\alpha$$
- 2
Подставим значения стороны и угла.$$h = 54\sin 150^\circ = 54\cdot\frac{1}{2}=27$$
Один из углов прямоугольной трапеции равен $37^\circ$. Найдите больший угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах.
- 1
В прямоугольной трапеции два угла равны $90^\circ$. Два оставшихся угла являются односторонними при параллельных основаниях, поэтому их сумма равна $180^\circ$.$$\alpha + \beta = 180^\circ$$
- 2
Если один из этих углов равен $37^\circ$, то второй, больший угол равен:$$\beta = 180^\circ - 37^\circ = 143^\circ$$
В равнобедренной трапеции $ABCD$ угол $D$ равен $54^\circ$. Найдите градусную меру угла $ACD$, если луч $AC$ является биссектрисой угла $BAD$.
- 1
В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны. Поэтому $\angle BAD = \angle ADC = 54^\circ$.$$\angle BAD = 54^\circ$$
- 2
Луч $AC$ является биссектрисой угла $BAD$, значит он делит этот угол пополам.$$\angle CAD = \frac{54^\circ}{2} = 27^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Сумма двух углов равнобедренной трапеции равна $268^\circ$. Найдите меньший угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах.
- 1
В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны. Поэтому два угла, сумма которых равна $268^\circ$, — равные большие углы.$$268^\circ : 2 = 134^\circ$$
- 2
Соседние углы трапеции в сумме дают $180^\circ$.$$180^\circ - 134^\circ = 46^\circ$$
Один из углов ромба равен $134^\circ$. Сколько градусов составляет угол между высотой и большей диагональю ромба?
- 1
Большая диагональ ромба проходит через вершины его тупых углов и делит их пополам.$$134^\circ : 2 = 67^\circ$$
- 2
Высота ромба перпендикулярна стороне. Поэтому угол между высотой и диагональю дополняет угол между диагональю и стороной до $90^\circ$; с учётом расположения углов получаем искомое значение $67^\circ$.$$90^\circ - 23^\circ = 67^\circ$$
Сторона квадрата равна $9\sqrt{2}$. Найдите диагональ этого квадрата.
- 1
Диагональ квадрата равна произведению его стороны на $\sqrt{2}$.$$d = a\sqrt{2}$$
- 2
Подставим длину стороны и упростим выражение.$$d = 9\sqrt{2}\cdot\sqrt{2} = 9\cdot 2 = 18$$
В равнобедренной трапеции $ABCD$ угол $D$ равен $64^\circ$. Найдите градусную меру угла $ACD$, если луч $AC$ является биссектрисой угла $BAD$.
- 1
В равнобедренной трапеции углы при основании $AD$ равны.$$\angle BAD = \angle ADC = 64^\circ$$
- 2
Луч $AC$ является биссектрисой угла $BAD$, поэтому угол $CAD$ равен половине угла $BAD$.$$\angle CAD = \dfrac{64^\circ}{2} = 32^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В ромбе $ABCD$ угол $ABC$ равен $146^\circ$. Найдите угол $ACD$. Ответ дайте в градусах.
- 1
В ромбе противоположные углы равны, а соседние углы supplementary.$$\angle DAB=180^\circ-\angle ABC=180^\circ-146^\circ=34^\circ$$
- 2
Диагональ ромба $AC$ делит углы $A$ и $C$ пополам.$$\angle ACD=\dfrac{\angle DAB}{2}=\dfrac{34^\circ}{2}=17^\circ$$
Основания трапеции равны 3 и 11. Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из её диагоналей.
- 1
Найдём длину средней линии трапеции как полусумму оснований.$$m = \dfrac{3+11}{2} = 7$$
- 2
Диагональ делит среднюю линию на два отрезка, длины которых равны половинам оснований трапеции.$$l_1 = \dfrac{3}{2} = 1{,}5, \quad l_2 = \dfrac{11}{2} = 5{,}5$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В равнобедренной трапеции известны высота $5$, большее основание $14$ и угол при основании $45^\circ$ (см. рисунок). Найдите меньшее основание.
- 1
Опустим высоты из концов меньшего основания. Получатся два равных прямоугольных треугольника, в каждом из которых высота равна $5$, а угол при большем основании равен $45^\circ$.
- 2
Найдём горизонтальную проекцию каждой боковой стороны:$$x = \frac{5}{\tan 45^\circ} = 5$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Периметр ромба равен 56, а один из углов равен $30^\circ$. Найдите площадь этого ромба.
- 1
У ромба четыре равные стороны, поэтому найдём длину его стороны:$$a = \frac{56}{4} = 14$$
- 2
Площадь ромба равна произведению квадрата стороны на синус угла между сторонами:$$S = a^2\sin 30^\circ = 14^2 \cdot \frac{1}{2} = 98$$
Диагональ прямоугольника образует угол $44^\circ$ с одной из его сторон. Найдите острый угол между диагоналями этого прямоугольника. Ответ дайте в градусах.
- 1
Диагонали прямоугольника симметричны относительно его сторон. Поэтому острый угол между диагоналями в два раза больше угла, который диагональ образует со стороной.$$\alpha = 2 \cdot 44^\circ$$
- 2
Вычисляем значение угла между диагоналями.$$\alpha = 88^\circ$$
Один из углов ромба равен $99^\circ$. Найдите меньший угол этого ромба.
- 1
Соседние углы ромба являются дополнительными.$$\alpha + 99^\circ = 180^\circ$$
- 2
Находим меньший угол ромба.$$\alpha = 180^\circ - 99^\circ = 81^\circ$$
В равнобедренной трапеции с основаниями $AD$ и $BC$ угол $D$ равен $76^\circ$. Диагональ $AC$ образует со стороной $AB$ угол $21^\circ$. Сколько градусов составляет угол между этой диагональю и…
- 1
В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны, поэтому угол $A$ равен углу $D$.$$\angle A = \angle D = 76^\circ$$
- 2
Диагональ $AC$ образует со стороной $AB$ угол $21^\circ$, то есть делит угол $A$ на два угла: $21^\circ$ и угол между диагональю и основанием $AD$.$$\angle CAD = 76^\circ - 21^\circ = 55^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Один из углов ромба равен $126^\circ$. Сколько градусов составляет угол между высотой и большей диагональю ромба?
- 1
Соседний с углом $126^\circ$ угол ромба является острым:$$\alpha=180^\circ-126^\circ=54^\circ$$
- 2
Большая диагональ ромба делит острый угол пополам, поэтому угол между диагональю и стороной равен:$$\frac{\alpha}{2}=\frac{54^\circ}{2}=27^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Диагонали $AC$ и $BD$ прямоугольника $ABCD$ пересекаются в точке $O$. $BO = 15$, $AB = 14$. Найдите $AC$.
- 1
Диагонали прямоугольника точкой пересечения делятся пополам, поэтому $BO$ — половина диагонали $BD$.$$BD = 2BO$$
- 2
Вычислим длину диагонали $BD$.$$BD = 2 \cdot 15 = 30$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Диагональ равнобедренной трапеции образует с её основанием угол $45^\circ$. Найдите высоту трапеции, если её основания равны $3$ и $10$.
- 1
Опустим высоты из концов меньшего основания. Из-за равенства боковых сторон равнобедренной трапеции отрезки у большего основания равны.$$x=\dfrac{10-3}{2}=3{,}5$$
- 2
Горизонтальная проекция диагонали от левого нижнего угла до правого верхнего равна сумме меньшего основания и одного из крайних отрезков.$$d_x=3+3{,}5=6{,}5$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Диагональ прямоугольника образует угол $70^\circ$ с одной из его сторон. Найдите острый угол между диагоналями этого прямоугольника. Ответ дайте в градусах.
- 1
Стороны прямоугольника перпендикулярны, поэтому угол между диагональю и другой стороной равен$$90^\circ - 70^\circ = 20^\circ$$
- 2
Диагонали симметричны относительно сторон прямоугольника, поэтому острый угол между ними в два раза больше найденного угла.$$2 \cdot 20^\circ = 40^\circ$$
Один из углов ромба равен $130^\circ$. Сколько градусов составляет угол между высотой и большей диагональю ромба?
- 1
Соседний с углом $130^\circ$ угол ромба является острым:$$\alpha=180^\circ-130^\circ=50^\circ$$
- 2
Большая диагональ ромба делит острый угол пополам, поэтому угол между большей диагональю и стороной равен:$$\frac{50^\circ}{2}=25^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Найдите острый угол параллелограмма $ABCD$, если биссектриса угла $A$ образует со стороной $BC$ угол, равный $34^\circ$. Ответ дайте в градусах.
- 1
В параллелограмме $AD \parallel BC$, поэтому угол между биссектрисой угла $A$ и стороной $AD$ равен $34^\circ$.$$\angle DAB : 2 = 34^\circ$$
- 2
Биссектриса делит угол $A$ пополам, значит острый угол параллелограмма равен:$$\angle A = 2 \cdot 34^\circ = 68^\circ$$