Высота равнобедренной трапеции, проведённая из конца её меньшего основания, делит большее основание на отрезки длиной 3 и 5. Найдите меньшее основание трапеции.
- 1
Опустим высоту из конца меньшего основания. Она образует прямоугольный треугольник у одной боковой стороны. В равнобедренной трапеции соответствующий треугольник у другой боковой стороны равен ему, поэтому боковые части большего основания…
- 2
Меньшее основание является разностью отрезков, на которые высота делит большее основание:$$5 - 3 = 2$$
Диагонали $AC$ и $BD$ прямоугольника $ABCD$ пересекаются в точке $O$. Известно, что $BO = 8$, $AB = 9$. Найдите $AC$.
- 1
Точка $O$ — точка пересечения диагоналей прямоугольника, поэтому она делит диагональ $BD$ пополам.$$BD = 2BO = 2 \cdot 8 = 16$$
- 2
Диагонали прямоугольника равны.$$AC = BD = 16$$
Высота равнобедренной трапеции, проведённая из конца её меньшего основания, делит большее основание на отрезки длиной 3 и 6. Найдите меньшее основание трапеции.
- 1
В равнобедренной трапеции боковые стороны равны, поэтому отрезки большего основания, выступающие за пределы меньшего основания, равны.
- 2
По условию эти отрезки имеют длины 3 и 6. Разность оснований равна разности этих отрезков:$$6 - 3 = 3$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Один из углов равнобедренной трапеции равен $99^\circ$. Найдите меньший угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах.
- 1
В равнобедренной трапеции углы, прилежащие к одной боковой стороне, являются односторонними при параллельных основаниях, поэтому их сумма равна $180^\circ$.$$180^\circ$$
- 2
Вычтем из $180^\circ$ данный угол:$$180^\circ - 99^\circ = 81^\circ$$
Один из углов параллелограмма равен $96^\circ$. Найдите меньший угол этого параллелограмма. Ответ дайте в градусах.
- 1
Соседние углы параллелограмма являются дополнительными.$$\alpha + \beta = 180^\circ$$
- 2
Находим второй угол параллелограмма:$$\beta = 180^\circ - 96^\circ = 84^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Острый угол ромба равен $52^\circ$. Сколько градусов составляет угол между стороной и меньшей диагональю ромба?
- 1
Соседний угол ромба supplementary с острым углом:$$\beta = 180^\circ - 52^\circ = 128^\circ$$
- 2
Меньшая диагональ ромба делит тупой угол пополам, поэтому искомый угол равен:$$\alpha = \dfrac{128^\circ}{2} = 64^\circ$$
Диагональ равнобедренной трапеции образует с боковыми сторонами углы $25^\circ$ и $67^\circ$. Сколько градусов составляет угол при большем основании трапеции?
- 1
Пусть $\alpha$ — угол при большем основании, а $x$ — угол между диагональю и большим основанием. Так как трапеция равнобедренная, угол между боковой стороной и диагональю у большего основания равен $\alpha-x$.$$\alpha-x=25^\circ$$
- 2
Угол между диагональю и другой боковой стороной равен $67^\circ$. С учётом параллельности оснований получаем:$$180^\circ-\alpha-x=67^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Перпендикуляр, проведённый из точки пересечения диагоналей ромба к его стороне, образует с одной из его диагоналей угол $32^\circ$. Сколько градусов составляет острый угол ромба?
- 1
Перпендикуляр образует с диагональю угол $32^\circ$. Поэтому угол между стороной ромба и этой диагональю равен$$90^\circ - 32^\circ = 58^\circ$$
- 2
Диагональ ромба делит угол при вершине пополам, поэтому тупой угол ромба равен$$2 \cdot 58^\circ = 116^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Сторона ромба равна 38, а один из углов этого ромба равен $150^\circ$. Найдите высоту этого ромба.
- 1
Высота ромба выражается через его сторону и угол между сторонами:$$h = a\sin\alpha$$
- 2
Подставим значения стороны и угла:$$h = 38\sin150^\circ = 38\cdot\frac{1}{2}=19$$
Один из углов параллелограмма равен $41^\circ$. Найдите больший угол этого параллелограмма. Ответ дайте в градусах.
- 1
Соседние углы параллелограмма являются дополнительными.$$\alpha + \beta = 180^\circ$$
- 2
Вычислим второй угол:$$\beta = 180^\circ - 41^\circ = 139^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Найдите площадь параллелограмма, изображённого на рисунке.
- 1
Найдём длину основания параллелограмма:$$a = 3 + 5 = 8$$
- 2
Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту:$$S = ah = 8 \cdot 12 = 96$$
В ромбе $ABCD$ угол $ABC$ равен $40^\circ$. Найдите угол $ACD$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Противоположные углы ромба равны, поэтому угол $CDA$ равен углу $ABC$.$$\angle CDA = \angle ABC = 40^\circ$$
- 2
Смежные углы ромба в сумме дают $180^\circ$, поэтому угол $DAB$ равен:$$\angle DAB = 180^\circ - 40^\circ = 140^\circ$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Острый угол ромба равен $78^\circ$. Сколько градусов составляет угол между стороной и меньшей диагональю ромба?
- 1
Тупой угол ромба является смежным с острым углом.$$\alpha = 180^\circ - 78^\circ = 102^\circ$$
- 2
Меньшая диагональ ромба делит тупой угол пополам.$$\beta = \dfrac{102^\circ}{2} = 51^\circ$$
Основания трапеции равны 5 и 11, а высота равна 7. Найдите среднюю линию этой трапеции.
- 1
Средняя линия трапеции равна полусумме её оснований.$$m = \frac{a+b}{2}$$
- 2
Подставим значения оснований:$$m = \frac{5+11}{2} = 8$$
Один из углов ромба равен $43^\circ$. Найдите больший угол этого ромба. Ответ дайте в градусах.
- 1
Ромб является параллелограммом, поэтому сумма его соседних углов равна $180^\circ$.$$\alpha + \beta = 180^\circ$$
- 2
Находим больший угол ромба:$$\beta = 180^\circ - 43^\circ = 137^\circ$$
Диагональ равнобедренной трапеции образует с боковыми сторонами углы $24^\circ$ и $78^\circ$. Сколько градусов составляет угол при большем основании трапеции?
- 1
Обозначим угол при большем основании через $x$. Так как трапеция равнобедренная, углы при меньшем основании равны $180^\circ-x$.
- 2
Рассмотрим треугольник, образованный диагональю и боковыми сторонами. Его углы выражаются через $x$: $24^\circ$, $78^\circ$ и угол при основании, равный $180^\circ-x-78^\circ$.
Ещё 2 шага — в полном решении
Один из углов прямоугольной трапеции равен $51^\circ$. Найдите больший угол этой трапеции.
- 1
В прямоугольной трапеции два угла равны $90^\circ$. Два других угла, прилежащих к наклонной боковой стороне, являются односторонними при параллельных основаниях, поэтому их сумма равна $180^\circ$.$$\alpha + \beta = 180^\circ$$
- 2
Находим второй угол трапеции:$$\beta = 180^\circ - 51^\circ = 129^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Острый угол ромба равен $66°$. Сколько градусов составляет угол между стороной и меньшей диагональю ромба?
- 1
Меньшая диагональ ромба соединяет вершины с тупыми углами и делит эти углы пополам.
- 2
Найдём тупой угол ромба как угол, соседний с острым:$$180° - 66° = 114°$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В равнобедренной трапеции с основаниями $AD$ и $BC$ угол $D$ равен $83^\circ$. Диагональ $AC$ образует со стороной $AB$ угол $37^\circ$. Сколько градусов составляет угол между этой диагональю и…
- 1
В равнобедренной трапеции углы при большем основании равны, поэтому угол $A$ равен углу $D$.$$\angle A = \angle D = 83^\circ$$
- 2
Диагональ $AC$ образует со стороной $AB$ угол $37^\circ$, значит она делит угол $A$ на два угла: $37^\circ$ и искомый.$$\angle CAD = \angle A - \angle BAC = 83^\circ - 37^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Сторона ромба равна 24, а один из углов этого ромба равен $150^\circ$. Найдите высоту этого ромба.
- 1
Высота ромба равна произведению его стороны на синус острого угла. Острый угол равен $30^\circ$.$$30^\circ = 180^\circ - 150^\circ$$
- 2
Вычислим высоту ромба:$$h = 24\sin 30^\circ = 24 \cdot \frac{1}{2} = 12$$