В равнобедренной трапеции $ABCD$ угол $D$ равен $48^\circ$. Найдите градусную меру угла $ACD$, если луч $AC$ является биссектрисой угла $BAD$.
- 1
В равнобедренной трапеции углы при основании $AD$ равны. Следовательно, $\angle BAD = \angle ADC = 48^\circ$.$$\angle BAD = 48^\circ$$
- 2
Луч $AC$ является биссектрисой угла $BAD$, поэтому$$\angle CAD = \dfrac{48^\circ}{2} = 24^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Один из углов равнобедренной трапеции равен $55^\circ$. Найдите больший угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах.
- 1
В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны. Соседние углы при боковой стороне в сумме дают $180^\circ$.$$\alpha + \beta = 180^\circ$$
- 2
Если один угол равен $55^\circ$, то больший угол равен:$$\beta = 180^\circ - 55^\circ = 125^\circ$$
Диагональ равнобедренной трапеции образует с боковыми сторонами углы $30^\circ$ и $80^\circ$. Сколько градусов составляет угол при большем основании трапеции?
- 1
В равнобедренной трапеции углы при большем основании равны. Обозначим каждый из них через $x$.
- 2
Рассмотрим треугольник, образованный диагональю, боковой стороной и большим основанием. Угол при большем основании этого треугольника равен $x - 30^\circ$, второй известный угол равен $80^\circ$.$$(x - 30^\circ) + 80^\circ + x = 180^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Диагональ прямоугольника образует угол $61^\circ$ с одной из его сторон. Найдите острый угол между диагоналями этого прямоугольника. Ответ дайте в градусах.
- 1
Диагонали прямоугольника симметричны относительно его основания, поэтому угол между ними, расположенный внутри верхней части прямоугольника, равен разности развернутого угла и двух углов по $61^\circ$.$$\alpha = 180^\circ - 2 \cdot 61^\circ$$
- 2
Вычисляем значение острого угла между диагоналями.$$\alpha = 180^\circ - 122^\circ = 58^\circ$$
Точка $O$ является серединой стороны $CD$ квадрата $ABCD$. Радиус окружности с центром в точке $O$, проходящей через вершину $A$, равен $2$. Найдите площадь квадрата $ABCD$.
- 1
Пусть сторона квадрата равна $a$. Поскольку $O$ — середина стороны $CD$, имеем $OD = \dfrac{a}{2}$, а $AD = a$.
- 2
Треугольник $AOD$ прямоугольный, поэтому по теореме Пифагора:$$OA^2 = AD^2 + OD^2 = a^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Один из углов ромба равен $122^\circ$. Сколько градусов составляет угол между высотой и большей диагональю ромба?
- 1
Смежный с углом $122^\circ$ угол ромба является острым:$$180^\circ - 122^\circ = 58^\circ$$
- 2
Большая диагональ ромба делит острый угол пополам, поэтому угол между большей диагональю и стороной равен:$$\dfrac{58^\circ}{2} = 29^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В равнобедренной трапеции с основаниями $AD$ и $BC$ угол $D$ равен $61^\circ$. Диагональ $AC$ образует со стороной $AB$ угол $23^\circ$. Сколько градусов составляет угол между этой диагональю и…
- 1
В равнобедренной трапеции углы при одном основании равны, поэтому $\angle A = \angle D = 61^\circ$.$$\angle A = 61^\circ$$
- 2
Диагональ $AC$ делит угол $A$ на угол между сторонами $AB$ и $AC$, равный $23^\circ$, и угол между диагональю $AC$ и основанием $AD$.$$\angle CAD = 61^\circ - 23^\circ = 38^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Периметр ромба равен 88, а один из углов равен $30^\circ$. Найдите площадь этого ромба.
- 1
У ромба все стороны равны, поэтому длина его стороны равна четверти периметра:$$a=\frac{88}{4}=22$$
- 2
Площадь ромба равна произведению квадрата стороны на синус угла между сторонами:$$S=a^2\sin\alpha$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Один из углов параллелограмма равен $128^\circ$. Найдите меньший угол этого параллелограмма. Ответ дайте в градусах.
- 1
Соседние углы параллелограмма являются дополнительными.$$\alpha + \beta = 180^\circ$$
- 2
Вычислим меньший угол:$$\beta = 180^\circ - 128^\circ = 52^\circ$$
Один из углов ромба равен $93^\circ$. Найдите меньший угол этого ромба. Ответ дайте в градусах.
- 1
Ромб является параллелограммом, поэтому его соседние углы в сумме составляют $180^\circ$.$$\alpha + \beta = 180^\circ$$
- 2
Вычислим меньший угол ромба:$$\beta = 180^\circ - 93^\circ = 87^\circ$$
Сторона квадрата равна $3\sqrt{2}$. Найдите диагональ этого квадрата.
- 1
Диагональ квадрата со стороной $a$ равна:$$d=a\sqrt{2}$$
- 2
Подставим значение стороны:$$d=3\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=3\cdot2=6$$
Диагонали $AC$ и $BD$ параллелограмма $ABCD$ пересекаются в точке $O$, $AC = 16$, $BD = 20$, $AB = 5$. Найдите $DO$.
- 1
Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.$$DO = \frac{BD}{2}$$
- 2
Подставим длину диагонали $BD$.$$DO = \frac{20}{2} = 10$$
Площадь параллелограмма равна 32, а две его стороны равны 8 и 16. Найдите его высоты. В ответе укажите большую высоту.
- 1
Высоту параллелограмма найдём по формуле площади:$$h = \dfrac{S}{a}$$
- 2
Для стороны длиной 8 высота равна:$$h_1 = \dfrac{32}{8} = 4$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Диагональ равнобедренной трапеции образует с её основанием угол $45^\circ$. Найдите высоту трапеции, если её основания равны $3$ и $7$.
- 1
Опустим высоты из концов меньшего основания. Из-за равнобедренности трапеции боковые части большего основания равны.$$x=\dfrac{7-3}{2}=2$$
- 2
Горизонтальная проекция диагонали от левого конца большего основания до правого конца меньшего основания равна сумме левой боковой части и меньшего основания.$$d_x=2+3=5$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Периметр ромба равен 20, а один из углов равен $30^\circ$. Найдите площадь этого ромба.
- 1
Найдём длину стороны ромба. Все его стороны равны, поэтому сторона равна четверти периметра.$$a = \dfrac{20}{4} = 5$$
- 2
Площадь ромба равна произведению квадрата стороны на синус угла между сторонами.$$S = a^2\sin\alpha$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Диагональ $AC$ параллелограмма $ABCD$ образует с его сторонами углы, равные $35^\circ$ и $30^\circ$. Найдите больший угол этого параллелограмма. Ответ дайте в градусах.
- 1
Диагональ $AC$ делит угол $A$ на два угла величиной $35^\circ$ и $30^\circ$.$$\angle A = 35^\circ + 30^\circ = 65^\circ$$
- 2
Соседние углы параллелограмма supplementary, поэтому больший угол равен разности между $180^\circ$ и углом $A$.$$\angle B = 180^\circ - 65^\circ = 115^\circ$$
Основания трапеции равны 10 и 11. Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из её диагоналей.
- 1
Диагональ трапеции делит её среднюю линию на два отрезка, равных половинам оснований.$$l_1=\dfrac{10}{2}=5,\quad l_2=\dfrac{11}{2}=5{,}5$$
- 2
Выбираем больший из полученных отрезков.$$\max(5;5{,}5)=5{,}5$$
Перпендикуляр, проведённый из точки пересечения диагоналей ромба к его стороне, образует с одной из его диагоналей угол $35^\circ$. Сколько градусов составляет острый угол ромба?
- 1
Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам.
- 2
Перпендикуляр к стороне образует с одной из диагоналей угол $35^\circ$. Следовательно, угол между этой диагональю и стороной равен $35^\circ$, поскольку эти углы являются углами между взаимно перпендикулярными прямыми.
Ещё 1 шаг — в полном решении
Диагональ равнобедренной трапеции образует с боковыми сторонами углы $23^\circ$ и $75^\circ$. Сколько градусов составляет угол при большем основании трапеции?
- 1
Диагональ образует с боковыми сторонами треугольник, в котором два угла равны $23^\circ$ и $75^\circ$.$$23^\circ+75^\circ+\angle D=180^\circ$$
- 2
Находим угол при верхнем основании трапеции:$$\angle D=180^\circ-23^\circ-75^\circ=82^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Площадь параллелограмма равна 40, а две его стороны равны 5 и 10. Найдите его высоты. Укажите большую высоту.
- 1
Площадь параллелограмма равна произведению стороны на высоту, проведённую к этой стороне.$$S = a h$$
- 2
Высота, соответствующая стороне длиной 5, равна:$$h_1 = \dfrac{40}{5} = 8$$
Ещё 2 шага — в полном решении