Периметр ромба равен 48, а один из углов равен $30^\circ$. Найдите площадь этого ромба.
- 1
У ромба все стороны равны, поэтому найдём длину его стороны:$$a = \frac{48}{4} = 12$$
- 2
Площадь ромба вычисляется как произведение квадрата стороны на синус угла между сторонами:$$S = a^2 \sin \alpha$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Один из углов ромба равен $35^\circ$. Найдите больший угол этого ромба. Жауап дайте в градусах.
- 1
Соседние углы ромба в сумме составляют $180^\circ$.$$\alpha + \beta = 180^\circ$$
- 2
Больший угол равен разности между $180^\circ$ и данным углом.$$\beta = 180^\circ - 35^\circ = 145^\circ$$
Сторона ромба равна 22, а один из углов этого ромба равен $150^\circ$. Найдите высоту этого ромба.
- 1
Смежный с углом $150^\circ$ угол ромба равен $30^\circ$, поскольку сумма соседних углов ромба равна $180^\circ$.$$180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$$
- 2
Высота ромба равна произведению его стороны на синус острого угла.$$h = a\sin 30^\circ$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Диагональ прямоугольника образует угол $65^\circ$ с одной из его сторон. Найдите острый угол между диагоналями этого прямоугольника. Ответ дайте в градусах.
- 1
Диагонали прямоугольника образуют с параллельными сторонами равные по величине углы. Угол между диагоналями, расположенный с другой стороны, является смежным с двумя углами по $65^\circ$.$$180^\circ - 2 \cdot 65^\circ$$
- 2
Находим острый угол между диагоналями:$$180^\circ - 130^\circ = 50^\circ$$
Один из углов равнобедренной трапеции равен $43^\circ$. Найдите больший угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах.
- 1
В равнобедренной трапеции углы, прилежащие к одной боковой стороне, являются смежными.$$\alpha + \beta = 180^\circ$$
- 2
Так как один угол равен $43^\circ$, больший угол равен:$$\beta = 180^\circ - 43^\circ = 137^\circ$$
Диагональ прямоугольника образует угол $74^\circ$ с одной из его сторон. Найдите острый угол между диагоналями этого прямоугольника. Ответ дайте в градусах.
- 1
Диагонали прямоугольника симметричны относительно его сторон. Поэтому угол между ними, расположенный сверху или снизу, равен разности двух углов по $74^\circ$ и дополнительного угла.$$\alpha = 180^\circ - 2 \cdot 74^\circ$$
- 2
Вычислим значение острого угла между диагоналями.$$\alpha = 180^\circ - 148^\circ = 32^\circ$$
Основания трапеции равны 2 и 12, а высота равна 6. Найдите среднюю линию этой трапеции.
- 1
Средняя желі трапеции равна полусумме её оснований.$$m = \dfrac{a+b}{2}$$
- 2
Подставим значения оснований трапеции:$$m = \dfrac{2+12}{2} = 7$$
Острый угол ромба равен $70^\circ$. Сколько градусов составляет угол между стороной и меньшей диагональю ромба?
- 1
Соседние углы ромба в сумме дают $180^\circ$, поэтому тупой угол ромба равен:$$180^\circ - 70^\circ = 110^\circ$$
- 2
Меньшая диагональ ромба делит тупые углы пополам. Следовательно, угол между стороной и меньшей диагональю равен:$$\dfrac{110^\circ}{2} = 55^\circ$$
Основания трапеции равны 14 и 19. Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из её диагоналей.
- 1
Диагональ трапеции делит её среднюю линию на два отрезка, длины которых равны половинам оснований трапеции.$$l_1 = \dfrac{14}{2} = 7,\quad l_2 = \dfrac{19}{2} = 9{,}5$$
- 2
Большим является отрезок, соответствующий большему основанию.$$\max(l_1,l_2)=9{,}5$$
В равнобедренной трапеции основания равны 3 и 7, а один из углов между боковой стороной и основанием равен $45^\circ$. Найдите площадь этой трапеции.
- 1
В равнобедренной трапеции боковые выступы у большего основания равны. Каждый из них равен половине разности оснований:$$x=\frac{7-3}{2}=2$$
- 2
Получается прямоугольный треугольник с углом $45^\circ$. Его катеты равны, поэтому высота трапеции равна $2$.$$h=2$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Один из углов ромба равен $62^\circ$. Найдите больший угол этого ромба. Жауап дайте в градусах.
- 1
Соседние углы ромба являются дополнительными.$$\alpha + \beta = 180^\circ$$
- 2
Находим больший угол:$$\beta = 180^\circ - 62^\circ = 118^\circ$$
Диагонали $AC$ и $BD$ прямоугольника $ABCD$ пересекаются в точке $O$, $BO = 17$, $AB = 16$. Найдите $AC$.
- 1
Диагонали прямоугольника точкой пересечения делятся пополам, поэтому $BO$ — половина диагонали $BD$.$$BD = 2BO$$
- 2
Диагонали прямоугольника равны, следовательно, $AC = BD$.$$AC = BD = 2 \cdot 17 = 34$$
Перпендикуляр, проведённый из точки пересечения диагоналей ромба к его стороне, образует с одной из его диагоналей угол $39^\circ$. Сколько градусов составляет острый угол ромба?
- 1
Диагонали ромба перпендикулярны, поэтому угол между стороной ромба и данной диагональю дополняет угол $39^\circ$ до $90^\circ$.$$\alpha = 90^\circ - 39^\circ = 51^\circ$$
- 2
Диагональ ромба делит угол при вершине пополам. Поэтому тупой угол ромба равен удвоенному найденному углу.$$\beta = 2 \cdot 51^\circ = 102^\circ$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Высота равнобедренной трапеции, проведённая из вершины $C$, делит основание $AD$ на отрезки длиной 3 и 11. Найдите длину основания $BC$.
- 1
Опустим из вершины $B$ высоту на основание $AD$. В равнобедренной трапеции боковые прямоугольные треугольники равны, поэтому крайние отрезки основания $AD$, образованные высотами, равны.
- 2
Большое основание состоит из меньшего основания и двух равных боковых отрезков. Поэтому разность отрезков, на которые высота из $C$ делит $AD$, равна длине основания $BC$.$$BC = 11 - 3 = 8$$
Основания трапеции равны 3 и 9, а высота равна 5. Найдите среднюю линию этой трапеции.
- 1
Средняя желі трапеции равна полусумме её оснований.$$m = \dfrac{a+b}{2}$$
- 2
Подставим длины оснований:$$m = \dfrac{3+9}{2} = 6$$
Площадь параллелограмма равна 45, а две его стороны равны 5 и 15. Найдите его высоты. В ответе укажите большую высоту.
- 1
Высоту параллелограмма найдём как отношение площади к длине соответствующей стороны.$$h = \dfrac{S}{a}$$
- 2
Для стороны длиной 5 высота равна:$$h_1 = \dfrac{45}{5} = 9$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
В равнобедренной трапеции основания равны 2 и 6, а один из углов между боковой стороной и основанием равен $45°$. Найдите площадь этой трапеции.
- 1
Опустим высоты из концов меньшего основания на большее основание. Получатся два равных прямоугольных треугольника, у каждого горизонтальный катет равен половине разности оснований.$$x=\dfrac{6-2}{2}=2$$
- 2
В прямоугольном треугольнике один из острых углов равен $45°$, поэтому его катеты равны. Следовательно, высота трапеции равна $h=2$.$$h=x=2$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Высота равнобедренной трапеции, проведённая из вершины $C$, делит основание $AD$ на отрезки длиной 8 и 15. Найдите длину основания $BC$.
- 1
Проведённая высота образует у основания $AD$ два отрезка. В равнобедренной трапеции боковые свесы равны, поэтому меньшая часть основания соответствует боковому свесу, а длина верхнего основания равна разности двух частей основания.$$BC = 15 - 8$$
- 2
Вычисляем длину основания $BC$.$$BC = 7$$
Высота равнобедренной трапеции, проведённая из конца её меньшего основания, делит большее основание на отрезки длиной 2 и 7. Найдите меньшее основание трапеции.
- 1
При опускании высоты из конца меньшего основания образуется прямоугольный треугольник. Из-за равенства боковых сторон трапеции отрезок у другого конца большего основания равен меньшему из данных отрезков.$$a = 7 - 2$$
- 2
Вычисляем длину меньшего основания:$$a = 5$$
Найдите площадь параллелограмма, изображённого на рисунке.
- 1
Найдём длину основания параллелограмма как сумму двух указанных отрезков.$$a = 3 + 8 = 11$$
- 2
Используем формулу площади параллелограмма.$$S = ah = 11 \cdot 4 = 44$$