Решение: Радиус описанной окружности
В треугольнике $ABC$ биссектриса угла $A$ делит высоту, проведённую из вершины $B$, в отношении $5:4$, считая от точки $B$. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$, если $BC=6$.
Решение по шагам
5 шаговОбозначим через $D$ основание высоты, проведённой из вершины $B$ на сторону $AC$, а через $E$ — точку пересечения этой высоты с биссектрисой угла $A$. По условию $BE:ED=5:4$, поэтому $BE:BD=5:9$.
Пусть $\angle BAC=2\alpha$. Рассмотрим проекцию точки $B$ на сторону $AC$. Из условия деления высоты точкой $E$ и из прямоугольного треугольника, образованного высотой, следует соотношение $\cos 2\alpha=\dfrac{4}{5}$.
Так как угол $A=2\alpha$ острый, находим $\sin A=\sqrt{1-\cos^2 A}=\sqrt{1-\left(\dfrac{4}{5}\right)^2}=\dfrac{3}{5}$.
Применим теорему о связи стороны треугольника с радиусом описанной окружности: $BC=2R\sin A$.
Подставим известные значения: $6=2R\cdot\dfrac{3}{5}$, откуда $R=5$.
Радиус описанной окружности равен $5$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Неверно интерпретируют отношение $5:4$ и считают, что $BE:BD=5:4$.
Используют формулу $BC=R\sin A$ без множителя $2$.
Путают угол $A$ с его половиной и подставляют в формулу значение $\sin\alpha$ вместо $\sin A$.