Решение: Основания трапеции по средним отрезкам
Углы при одном из оснований трапеции равны $80^\circ$ и $10^\circ$, а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны $20$ и $17$. Найдите основания трапеции.
Решение по шагам
7 шаговОбозначим основания трапеции через $a$ и $b$, причём $a>b$, а высоту — через $h$. Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, равен полусумме оснований.
$$\frac{a+b}{2}=20$$Следовательно, сумма оснований равна:
$$a+b=40$$Рассмотрим отрезок, соединяющий середины оснований. Его горизонтальная составляющая равна половине разности горизонтальных проекций боковых сторон. С учётом углов $80^\circ$ и $10^\circ$ длина этого отрезка выражается формулой:
$$17=h\sqrt{1+\left(\frac{\cot80^\circ-\cot10^\circ}{2}\right)^2}=\frac{h}{\sin20^\circ}$$Отсюда высота трапеции равна:
$$h=17\sin20^\circ$$Разность оснований равна сумме горизонтальных проекций боковых сторон:
$$a-b=h(\cot80^\circ+\cot10^\circ)$$Используем тождество $\cot10^\circ+\cot80^\circ=\dfrac{2}{\sin20^\circ}$ и найденное значение высоты:
$$a-b=17\sin20^\circ\cdot\frac{2}{\sin20^\circ}=34$$Решаем систему для оснований:
$$\begin{cases}a+b=40,\\a-b=34\end{cases}\quad\Rightarrow\quad a=37,\ b=3$$Основания трапеции равны $37$ и $3$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Ошибочно считать отрезок, соединяющий середины оснований, равным высоте трапеции.
Использовать разность, а не сумму горизонтальных проекций боковых сторон при нахождении разности оснований.
Перепутать полусумму оснований с их суммой.