Задание 23 ОГЭ по математике: решения ФИПИ с ответами по шагам

Медиана равностороннего треугольника

Сторона равностороннего треугольника равна $12\sqrt{3}$. Найдите медиану этого треугольника.

1. 1
   Медиана равностороннего треугольника выражается через его сторону формулой:$$m = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$$
2. 2
   Подставим длину стороны и упростим выражение:$$m = \dfrac{12\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}{2} = \dfrac{12\cdot 3}{2} = 18$$

Расстояние до основания трапеции

В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 80, а площадь равна 320, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания.

1. 1
   Обозначим основания трапеции через $a$ и $b$, где $a$ — меньшее основание, а боковую сторону — через $c$. Так как в трапецию можно вписать окружность, суммы противоположных сторон равны:$$a+b=2c$$
2. 2
   Из условия о периметре получаем:$$a+b+c+c=80$$

Ещё 9 шагов — в полном решении

Радиус описанной окружности

В треугольнике $ABC$ биссектриса угла $A$ делит высоту, проведённую из вершины $B$, в отношении $13:12$, считая от точки $B$. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$, если…

1. 1
   Пусть $D$ — точка пересечения биссектрисы угла $A$ с высотой $BH$, а $\angle A=2\alpha$. Тогда биссектриса образует с каждой из сторон угла $A$ угол $\alpha$.
2. 2
   Введём обозначение $AB=c$. В прямоугольном треугольнике, образованном высотой $BH$, имеем $BD=c\sin\alpha$, а длина высоты равна $BH=2c\sin\alpha\cos\alpha$.$$BH=2c\sin\alpha\cos\alpha$$

Ещё 5 шагов — в полном решении

Периметр параллелограмма

Биссектриса угла $A$ параллелограмма $ABCD$ пересекает сторону $BC$ в точке $K$. Найдите периметр параллелограмма, если $BK = 10$, $CK = 18$.

1. 1
   Так как $ABCD$ — параллелограмм, то $AD \parallel BC$, а значит, $AD \parallel BK$.
2. 2
   Поскольку $AK$ — биссектриса угла $DAB$, то $\angle BAK = \angle DAK$. Из-за параллельности $AD$ и $BK$ углы $\angle DAK$ и $\angle AKB$ равны как накрест лежащие.

Ещё 3 шага — в полном решении

Длина боковой стороны трапеции

Биссектрисы углов $A$ и $B$ при боковой стороне $AB$ трапеции $ABCD$ пересекаются в точке $F$. Найдите $AB$, если $AF = 15$, $BF = 8$.

1. 1
   Основания трапеции $AD$ и $BC$ параллельны, поэтому углы $A$ и $B$, прилежащие к боковой стороне $AB$, являются односторонними и в сумме дают $180^\circ$.$$\angle A + \angle B = 180^\circ$$
2. 2
   В треугольнике $AFB$ углы при вершинах $A$ и $B$ равны половинам углов $A$ и $B$ трапеции. Следовательно, их сумма равна $90^\circ$, а угол $AFB$ также равен $90^\circ$.$$\angle FAB + \angle FBA = \frac{\angle A + \angle B}{2} = 90^\circ$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Расстояние до меньшего основания

В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 200, а площадь равна 2000, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания.

1. 1
   Обозначим основания трапеции через $a$ и $b$, где $a>b$, боковую сторону — через $c$, а высоту — через $h$. Так как в трапецию можно вписать окружность, суммы противоположных сторон равны. Поэтому$$a+b=2c$$
2. 2
   Из условия о периметре получаем$$a+b+2c=200$$

Ещё 5 шагов — в полном решении

Высота к гипотенузе

Точка $H$ является основанием высоты, проведённой из вершины прямого угла $B$ треугольника $ABC$ к гипотенузе $AC$. Найдите $AB$, если $AH = 10$, $AC = 40$.

1. 1
   В прямоугольном треугольнике квадрат катета равен произведению гипотенузы на проекцию этого катета на гипотенузу. Для катета $AB$ его проекция равна $AH$.$$AB^2 = AC \cdot AH$$
2. 2
   Подставим известные значения.$$AB^2 = 40 \cdot 10 = 400$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Средняя линия трапеции

Прямая, параллельная основаниям трапеции $ABCD$, пересекает её боковые стороны $AB$ и $CD$ в точках $E$ и $F$ соответственно. Найдите длину отрезка $EF$, если $AD = 42$, $BC = 14$, $CF : DF = 4 : 3$.

1. 1
   Из отношения $CF : DF = 4 : 3$ получаем $CD = CF + DF$, поэтому $CF : CD = 4 : 7$.$$CD = 7k,\quad CF = 4k,\quad \frac{CF}{CD} = \frac{4}{7}$$
2. 2
   Прямая $EF$ параллельна основаниям трапеции. Поэтому длина параллельного сечения изменяется от $BC$ до $AD$ пропорционально расстоянию вдоль боковой стороны $CD$.$$EF = BC + \frac{CF}{CD}(AD - BC)$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Параллельный отрезок в треугольнике

Прямая, параллельная стороне $AC$ треугольника $ABC$, пересекает стороны $AB$ и $BC$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Найдите $BN$, если $MN = 16$, $AC = 20$, $NC = 15$.

1. 1
   Так как $MN \parallel AC$, треугольники $BMN$ и $BAC$ подобны по двум углам.$$\triangle BMN \sim \triangle BAC$$
2. 2
   Из подобия треугольников получаем отношение соответствующих сторон.$$\frac{BN}{BC} = \frac{MN}{AC} = \frac{16}{20} = \frac{4}{5}$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Биссектрисы углов трапеции

Биссектрисы углов $A$ и $B$ при боковой стороне $AB$ трапеции $ABCD$ пересекаются в точке $F$. Найдите $AB$, если $AF = 32$, $BF = 24$.

1. 1
   В трапеции основания параллельны, поэтому сумма углов, прилежащих к боковой стороне $AB$, равна $180^\circ$: $\angle A + \angle B = 180^\circ$.$$\angle A + \angle B = 180^\circ$$
2. 2
   Поскольку $AF$ и $BF$ — биссектрисы углов $A$ и $B$, углы треугольника $AFB$ при вершинах $A$ и $B$ равны половинам углов $A$ и $B$.$$\angle FAB + \angle ABF = \dfrac{\angle A + \angle B}{2} = 90^\circ$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Параллельная прямая в треугольнике

Прямая, параллельная стороне $AC$ треугольника $ABC$, пересекает стороны $AB$ и $BC$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Найдите $BN$, если $MN = 12$, $AC = 42$, $NC = 25$.

1. 1
   Так как $MN \parallel AC$, треугольники $BMN$ и $BAC$ подобны по двум углам.$$\triangle BMN \sim \triangle BAC$$
2. 2
   Из подобия треугольников получаем отношение соответствующих сторон:$$\frac{BN}{BC} = \frac{MN}{AC} = \frac{12}{42} = \frac{2}{7}$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Средняя линия трапеции

Прямая, параллельная основаниям трапеции $ABCD$, пересекает её боковые стороны $AB$ и $CD$ в точках $E$ и $F$ соответственно. Найдите длину отрезка $EF$, если $AD = 33$, $BC = 18$, $CF : DF = 2 : 1$.

1. 1
   Из отношения $CF : DF = 2 : 1$ следует, что $CD$ разделена точкой $F$ на три равные части, причём $CF$ составляет две трети всей боковой стороны.$$CD = CF + DF,\quad \frac{CF}{CD} = \frac{2}{2+1} = \frac{2}{3}$$
2. 2
   Длина отрезка, параллельного основаниям трапеции, изменяется от длины меньшего основания $BC$ до длины большего основания $AD$ пропорционально расстоянию от основания $BC$.$$EF = BC + \frac{CF}{CD}(AD - BC)$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Отрезок на сторонах треугольника

Точка $H$ является основанием высоты $BH$, проведённой из вершины прямого угла $B$ прямоугольного треугольника $ABC$. Окружность с диаметром $BH$ пересекает стороны $AB$ и $CB$ в точках $P$ и $K$…

1. 1
   Введём прямоугольную систему координат с началом в точке $B$, направив ось $Ox$ вдоль $BA$, а ось $Oy$ вдоль $BC$. Пусть $H=(x_H,y_H)$.
2. 2
   Точка $X$ принадлежит окружности с диаметром $BH$ тогда и только тогда, когда угол $BXH$ прямой. В координатах это означает, что скалярное произведение векторов $\overrightarrow{BX}$ и $\overrightarrow{HX}$ равно нулю.$$x(x-x_H)+y(y-y_H)=0$$

Ещё 4 шага — в полном решении

Высота к гипотенузе

Катет и гипотенуза прямоугольного треугольника равны 16 и 34. Найдите высоту, проведённую к гипотенузе.

1. 1
   Обозначим второй катет через $b$. По теореме Пифагора:$$b^2 + 16^2 = 34^2$$
2. 2
   Найдём второй катет:$$b^2 = 34^2 - 16^2 = 1156 - 256 = 900,\quad b = 30$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Средняя линия трапеции

Прямая, параллельная основаниям трапеции $ABCD$, пересекает её боковые стороны $AB$ и $CD$ в точках $E$ и $F$ соответственно. Найдите длину отрезка $EF$, если $AD = 50$, $BC = 30$, $CF : DF = 7 : 3$.

1. 1
   Из отношения $CF:DF=7:3$ следует, что $CD=10$ частей, а $CF$ составляет $\frac{7}{10}$ боковой стороны $CD$.
2. 2
   Поскольку $EF\parallel AD\parallel BC$, длина параллельного основаниям сечения изменяется пропорционально расстоянию от одного основания до другого. От основания $BC$ до основания $AD$ разность длин равна $AD-BC=50-30=20$.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Высота к гипотенузе

Катеты прямоугольного треугольника равны 15 и 20. Найдите высоту, проведённую к гипотенузе.

1. 1
   По теореме Пифагора найдём гипотенузу прямоугольного треугольника:$$c = \sqrt{15^2 + 20^2} = \sqrt{225 + 400} = 25$$
2. 2
   Площадь треугольника можно выразить через катеты и через гипотенузу с проведённой к ней высотой:$$\frac{15 \cdot 20}{2} = \frac{25h}{2}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Основания трапеции по средним отрезкам

Углы при одном из оснований трапеции равны $77^\circ$ и $13^\circ$, а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны $11$ и $10$. Найдите основания трапеции.

1. 1
   Обозначим основания трапеции через $a$ и $b$, причём $a>b$, а высоту — через $h$. Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, равен полусумме оснований.$$\frac{a+b}{2}=11$$
2. 2
   Из первого равенства получаем сумму оснований.$$a+b=22$$

Ещё 4 шага — в полном решении

Высота к гипотенузе

Точка $H$ является основанием высоты, проведённой из вершины прямого угла $B$ треугольника $ABC$ к гипотенузе $AC$. Найдите $AB$, если $AH = 7$, $AC = 28$.

1. 1
   Так как $BH$ — высота, проведённая к гипотенузе прямоугольного треугольника, отрезок $AH$ является проекцией катета $AB$ на гипотенузу $AC$.
2. 2
   По теореме о катете квадрат катета равен произведению гипотенузы на проекцию этого катета.$$AB^2 = AC \cdot AH$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Сторона треугольника по радиусу

Углы $B$ и $C$ треугольника $ABC$ равны соответственно $61^\circ$ и $89^\circ$. Найдите $BC$, если радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$, равен $10$.

1. 1
   Найдём третий угол треугольника:$$A=180^\circ-61^\circ-89^\circ=30^\circ$$
2. 2
   По теореме синусов сторона $BC$, лежащая напротив угла $A$, связана с радиусом описанной окружности формулой:$$\frac{BC}{\sin A}=2R$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Диаметр и хорда окружности

Середина $M$ стороны $AD$ выпуклого четырёхугольника $ABCD$ равноудалена от всех его вершин. Найдите $AD$, если $BC = 6$, а углы $B$ и $C$ четырёхугольника равны соответственно $124^\circ$ и…

1. 1
   Точки $A$, $B$, $C$, $D$ равноудалены от точки $M$, поэтому они лежат на окружности с центром $M$. Поскольку $M$ — середина отрезка $AD$, отрезок $AD$ является диаметром этой окружности.$$AD = 2R$$
2. 2
   Угол $ACD$ прямой как вписанный угол, опирающийся на диаметр $AD$.$$\angle ACD = 90^\circ$$

Ещё 6 шагов — в полном решении