Решение: Диаметр и хорда окружности
Середина $M$ стороны $AD$ выпуклого четырёхугольника $ABCD$ равноудалена от всех его вершин. Найдите $AD$, если $BC = 6$, а углы $B$ и $C$ четырёхугольника равны соответственно $124^\circ$ и $116^\circ$.
Решение по шагам
8 шаговТочки $A$, $B$, $C$, $D$ равноудалены от точки $M$, поэтому они лежат на окружности с центром $M$. Поскольку $M$ — середина отрезка $AD$, отрезок $AD$ является диаметром этой окружности.
$$AD = 2R$$Угол $ACD$ прямой как вписанный угол, опирающийся на диаметр $AD$.
$$\angle ACD = 90^\circ$$В выпуклом вписанном четырёхугольнике противоположные углы в сумме дают $180^\circ$. Поэтому угол $D$ равен
$$\angle ADC = 180^\circ - \angle B = 180^\circ - 124^\circ = 56^\circ$$В треугольнике $ACD$ найдём угол $CAD$:
$$\angle CAD = 180^\circ - 90^\circ - 56^\circ = 34^\circ$$Диагональ $AC$ делит угол $BAD$ на углы $BAC$ и $CAD$. Противоположные углы вписанного четырёхугольника supplementary, поэтому
$$\angle BAD = 180^\circ - \angle C = 180^\circ - 116^\circ = 64^\circ$$Тогда
$$\angle BAC = \angle BAD - \angle CAD = 64^\circ - 34^\circ = 30^\circ$$Длина хорды $BC$, стягивающей вписанный угол $BAC$, равна $2R\sin\angle BAC$. Так как $AD=2R$, получаем
$$BC = AD\sin 30^\circ = \frac{AD}{2}$$Подставим $BC=6$:
$$6 = \frac{AD}{2}, \qquad AD=12$$Ответ: $12$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не обосновать, почему $AD$ является диаметром окружности.
Перепутать противоположные углы вписанного четырёхугольника и считать их равными.
Использовать угол $CAD$ вместо угла $BAC$ при вычислении хорды $BC$.
Забыть, что $AD=2R$.