Решение: Расстояние до меньшего основания
В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 180, а площадь равна 1620, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания.
Решение по шагам
8 шаговПусть основания равнобедренной трапеции равны $a$ и $b$, где $a>b$, боковая сторона равна $c$, а высота равна $h$. Для четырёхугольника, в который можно вписать окружность, суммы противоположных сторон равны:
$$a+b=2c$$Из условия о периметре получаем:
$$a+b+2c=180$$Так как $a+b=2c$, то $2(a+b)=180$, следовательно:
$$a+b=90,\qquad c=45$$Используем формулу площади трапеции:
$$S=\frac{a+b}{2}\cdot h,\qquad 1620=45h,\qquad h=36$$Опустим высоты из концов меньшего основания. В образовавшемся прямоугольном треугольнике горизонтальная проекция боковой стороны равна $\frac{a-b}{2}$. По теореме Пифагора:
$$45^2=36^2+\left(\frac{a-b}{2}\right)^2$$Отсюда:
$$\left(\frac{a-b}{2}\right)^2=729,\qquad \frac{a-b}{2}=27$$Решая систему $a+b=90$ и $a-b=54$, получаем основания:
$$a=72,\qquad b=18$$Точка пересечения диагоналей трапеции делит высоту в отношении оснований. Расстояние от этой точки до меньшего основания равно:
$$x=h\cdot\frac{b}{a+b}=36\cdot\frac{18}{90}=7{,}2$$Расстояние от точки пересечения диагоналей до меньшего основания равно $7{,}2$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Неверно применять условие существования вписанной окружности: суммы противоположных сторон равны, то есть $a+b=2c$.
Забывать, что горизонтальная проекция боковой стороны равна половине разности оснований.
Брать расстояние от точки пересечения диагоналей до большего основания вместо расстояния до меньшего.