Решение: Биссектрисы углов трапеции
Биссектрисы углов $A$ и $B$ при боковой стороне $AB$ трапеции $ABCD$ пересекаются в точке $F$. Найдите $AB$, если $AF = 21$, $BF = 20$.
Решение по шагам
4 шагаОснования трапеции параллельны, поэтому внутренние односторонние углы при боковой стороне $AB$ supplementary:
$$\angle A + \angle B = 180^\circ$$Так как $AF$ и $BF$ — биссектрисы углов $A$ и $B$, углы треугольника $AFB$ при вершинах $A$ и $B$ равны половинам этих углов. Поэтому их сумма равна $90^\circ$:
$$\angle FAB + \angle FBA = \frac{\angle A}{2} + \frac{\angle B}{2} = 90^\circ$$Следовательно, треугольник $AFB$ прямоугольный, причём гипотенуза — сторона $AB$.
$$AB^2 = AF^2 + BF^2$$Подставим известные длины:
$$AB = \sqrt{21^2 + 20^2} = \sqrt{441 + 400} = \sqrt{841} = 29$$Ответ: 29.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Считать, что $AB = AF + BF$, хотя точки $A$, $F$, $B$ не лежат на одной прямой.
Не учитывать, что углы $A$ и $B$ являются односторонними при параллельных основаниях трапеции.
Применить теорему Пифагора без обоснования прямого угла в треугольнике $AFB$.