Решение: Расстояние до основания трапеции
В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 80, а площадь равна 320, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания.
Решение по шагам
11 шаговОбозначим основания трапеции через $a$ и $b$, где $a$ — меньшее основание, а боковую сторону — через $c$. Так как в трапецию можно вписать окружность, суммы противоположных сторон равны:
$$a+b=2c$$Из условия о периметре получаем:
$$a+b+c+c=80$$Следовательно, $a+b=40$ и $c=20$.
Высота трапеции находится по формуле площади:
$$S=\frac{a+b}{2}\cdot h$$Подставим известные значения:
$$320=\frac{40}{2}\cdot h,\qquad h=16$$В равнобедренной трапеции разность оснований делится пополам по краям. Поэтому из прямоугольного треугольника:
$$c^2=h^2+\left(\frac{b-a}{2}\right)^2$$Подставим $c=20$ и $h=16$:
$$20^2=16^2+\left(\frac{b-a}{2}\right)^2$$Получаем:
$$\frac{b-a}{2}=12,\qquad b-a=24$$Совместно с равенством $a+b=40$ находим основания:
$$a=8,\qquad b=32$$Точка пересечения диагоналей трапеции делит высоту так, что расстояние от меньшего основания до этой точки равно доле высоты, пропорциональной меньшему основанию:
$$x=h\cdot\frac{a}{a+b}$$Следовательно:
$$x=16\cdot\frac{8}{40}=\frac{16}{5}=3{,}2$$Расстояние от точки пересечения диагоналей до меньшего основания равно $3{,}2$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Неверно использовать свойство описанной трапеции и считать, что равны суммы оснований и боковых сторон попарно.
Забыть, что в формуле площади используется полусумма оснований.
Взять расстояние от точки пересечения диагоналей до большего основания вместо меньшего.
Использовать отношение отрезков высоты, не учитывая, какое основание является меньшим.