Решение: Углы ромба по диагонали
Расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до одной из его сторон равно 15, а одна из диагоналей ромба равна 60. Найдите углы ромба.
Решение по шагам
5 шаговОбозначим вторую диагональ ромба через $d$. Диагонали ромба перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам. Поэтому сторона ромба равна
$$a=\sqrt{30^2+\left(\frac d2\right)^2}=\frac12\sqrt{3600+d^2}$$Площадь ромба равна половине произведения диагоналей, а расстояние от центра ромба до стороны является радиусом вписанной окружности: $r=\dfrac{S}{p}$, где $p=2a$ — полупериметр.
$$15=\frac{30d}{\sqrt{3600+d^2}}$$Возводим равенство в квадрат и находим вторую диагональ.
$$225(3600+d^2)=900d^2;\quad 810000=675d^2;\quad d^2=1200;\quad d=20\sqrt3$$В прямоугольном треугольнике, составленном из половин диагоналей, отношение половины меньшей диагонали к половине большей диагонали равно
$$\frac{d/2}{60/2}=\frac{20\sqrt3}{60}=\frac{\sqrt3}{3}=\tan30^\circ$$Следовательно, половина острого угла ромба равна $30^\circ$, поэтому острый угол равен $60^\circ$. Соседние углы ромба supplementary, значит тупой угол равен $120^\circ$.
$$\alpha=2\cdot30^\circ=60^\circ;\quad \beta=180^\circ-60^\circ=120^\circ$$Углы ромба равны $60^\circ$, $60^\circ$, $120^\circ$ и $120^\circ$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывать, что диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам.
Использовать в формуле расстояния до стороны длину стороны вместо полупериметра.
Назвать углом ромба $30^\circ$, забыв, что найденный угол является половиной острого угла.