Решение: Углы ромба по диагонали
Расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до одной из его сторон равно 10, а одна из диагоналей ромба равна 40. Найдите углы ромба.
Решение по шагам
6 шаговПусть $O$ — точка пересечения диагоналей ромба. Одна диагональ равна $40$, поэтому половина этой диагонали равна $20$. Обозначим половину второй диагонали через $y$.
Диагонали ромба перпендикулярны, поэтому сторона ромба равна гипотенузе прямоугольного треугольника с катетами $20$ и $y$: $a=\sqrt{20^2+y^2}$.
Площадь ромба равна $S=\dfrac{40\cdot 2y}{2}=40y$. Также площадь равна произведению полупериметра на высоту, проведённую к стороне. Полупериметр равен $2a$, а расстояние от точки $O$ до стороны равно $10$, поэтому $S=2a\cdot 10=20a$.
Приравниваем выражения для площади: $40y=20\sqrt{400+y^2}$. Отсюда $2y=\sqrt{400+y^2}$, поэтому $4y^2=400+y^2$, $3y^2=400$, $y=\dfrac{20}{\sqrt{3}}$.
В прямоугольном треугольнике, образованном половинами диагоналей, отношение меньшего катета к большему равно $\dfrac{y}{20}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$. Следовательно, острый угол ромба равен $2\arctan\dfrac{1}{\sqrt{3}}=60^\circ$.
Соседние углы ромба supplementary, поэтому второй угол равен $180^\circ-60^\circ=120^\circ$.
Углы ромба равны $60^\circ$, $120^\circ$, $60^\circ$, $120^\circ$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Используют диагональ $40$ вместо её половины $20$.
Забывают, что диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам.
Называют углом ромба угол прямоугольного треугольника, образованного половинами диагоналей, не удваивая его.
Получают только один угол и не находят второй как дополнительный до $180^\circ$.