Решение: Диагонали прямоугольника
Точка $H$ является основанием высоты $BH$, проведённой из вершины прямого угла $B$ прямоугольного треугольника $ABC$. Окружность с диаметром $BH$ пересекает стороны $AB$ и $CB$ в точках $P$ и $K$ соответственно. Найдите $PK$, если $BH = 12$.
Решение по шагам
4 шагаТочки $P$ и $K$ лежат на окружности, диаметр которой равен $BH$. По теореме Фалеса углы, опирающиеся на диаметр $BH$, прямые:
$$\angle BPH = \angle BKH = 90^\circ$$Поскольку $P$ лежит на стороне $AB$, а $K$ — на стороне $CB$, угол $PBK$ совпадает с прямым углом $ABC$:
$$\angle PBK = 90^\circ$$В четырёхугольнике $BPHK$ три угла прямые, следовательно, это прямоугольник. Диагонали прямоугольника равны.
$$PK = BH$$По условию $BH = 12$, поэтому:
$$PK = 12$$PK = 12
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не обосновывают, почему углы $BPH$ и $BKH$ прямые.
Называют четырёхугольник $BPHK$ прямоугольником без проверки его углов.
Путают диагонали прямоугольника и считают, что $PK = \frac{BH}{2}$.