Решение: Основания трапеции по средним отрезкам
Углы при одном из оснований трапеции равны $53^\circ$ и $37^\circ$, а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны $6$ и $2$. Найдите основания трапеции.
Решение по шагам
6 шаговОбозначим основания трапеции через $a$ и $b$, причём $a>b$. Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, является средней линией трапеции и равен $6$.
$$6=\dfrac{a+b}{2}$$Пусть высота трапеции равна $h$. Горизонтальные проекции боковых сторон равны $h\cot 53^\circ$ и $h\cot 37^\circ$. Поэтому разность оснований равна сумме этих проекций:
$$a-b=h\left(\cot 53^\circ+\cot 37^\circ\right)$$Второй отрезок, соединяющий середины оснований, имеет длину $2$. При углах $53^\circ$ и $37^\circ$ его горизонтальная составляющая равна $\dfrac{7h}{24}$, поэтому по теореме Пифагора:
$$2^2=h^2+\left(\dfrac{7h}{24}\right)^2$$Решая это уравнение, получаем $h=\dfrac{48}{25}$. Тогда с учётом $\cot 53^\circ=\dfrac{3}{4}$ и $\cot 37^\circ=\dfrac{4}{3}$:
$$a-b=\dfrac{48}{25}\left(\dfrac{3}{4}+\dfrac{4}{3}\right)=4$$Получаем систему для оснований:
$$\begin{cases}a+b=12,\\a-b=4.\end{cases}$$Решая систему, находим длины оснований.
$$a=8,\quad b=4$$Основания трапеции равны $8$ и $4$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Путают среднюю линию трапеции с половиной разности оснований.
Неверно складывают горизонтальные проекции боковых сторон.
Используют только сумму оснований и не находят их разность.