Решение: Основания трапеции по серединам
Углы при одном из оснований трапеции равны $7^\circ$ и $83^\circ$, а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны $14$ и $11$. Найдите основания трапеции.
Решение по шагам
6 шаговОбозначим основания трапеции через $a$ и $b$, причём $a>b$, а высоту — через $h$. Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, равен полусумме оснований. Поэтому
$$\frac{a+b}{2}=14,\qquad a+b=28$$Пусть основания расположены горизонтально. Из прямоугольных треугольников у боковых сторон горизонтальные проекции боковых сторон равны $h\cot 7^\circ$ и $h\tan 7^\circ$. Поэтому
$$a-b=h(\cot 7^\circ+\tan 7^\circ)$$Расстояние между серединами оснований равно $11$. Вследствие симметричного расположения середин относительно средней линии оно выражается формулой
$$11=\frac{h(\cot 7^\circ-\tan 7^\circ)}{2}$$Исключим высоту. Используем тождество
$$\frac{\cot 7^\circ+\tan 7^\circ}{\cot 7^\circ-\tan 7^\circ}=\frac{1}{\cos 14^\circ}$$Тогда разность оснований равна
$$a-b=22\cdot\frac{\cot 7^\circ+\tan 7^\circ}{\cot 7^\circ-\tan 7^\circ}=\frac{22}{\cos 14^\circ}\approx 22{,}673$$Решая систему для суммы и разности оснований, получаем
$$a=\frac{28+22/\cos 14^\circ}{2}\approx25{,}337,\qquad b=\frac{28-22/\cos 14^\circ}{2}\approx2{,}663$$Основания трапеции: примерно $25{,}34$ и $2{,}66$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Ошибочно считать, что оба данных отрезка являются средними линиями трапеции.
Не учитывать, что отрезок между серединами боковых сторон равен полусумме оснований.
Перепутать разность оснований с суммой горизонтальных проекций боковых сторон.
Округлить значения слишком рано.